Matematyka — Czerwiec 2020

Krok 1. Liczymy całą trasę. Sumujemy długości wszystkich czterech etapów: $26+27+21+31=105$ km. To jest 100% całej trasy rajdu.

Krok 2. Sprawdzamy poniedziałek i wtorek. W te dwa dni rowerzysta przejechał $26+27=53$ km. Sprawdzamy, czy to więcej czy mniej niż połowa z 105 km. Połowa z 105 km to $52,5$ km. Skoro $53>52,5$, to poniedziałek i wtorek razem to WIĘCEJ niż 50% całej trasy.

Odpowiedź do pierwszego zdania: A (więcej niż 50%).

Krok 3. Sprawdzamy środę. W środę rowerzysta przejechał 21 km. Zamieniamy to na ułamek całej trasy: $\frac{21}{105}$. Dzielimy licznik i mianownik przez 21: $\frac{21}{105}=\frac{1}{5}$.

Odpowiedź do drugiego zdania: D ($\frac{1}{5}$).

Odpowiedź: A, D.

Krok 1. Najpierw mnożenie, potem odejmowanie. W wyrażeniu $\frac{5}{7}-\frac{2}{7}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)$ najpierw wykonujemy mnożenie (obowiązuje kolejność działań: mnożenie przed odejmowaniem).

Krok 2. Mnożymy ułamki. $\frac{2}{7}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{2\cdot 3}{7\cdot 2}=-\frac{6}{14}=-\frac{3}{7}$.

Krok 3. Wracamy do odejmowania. Mamy teraz $\frac{5}{7}-\left(-\frac{3}{7}\right)$. Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie liczby dodatniej, więc zamieniamy to na $\frac{5}{7}+\frac{3}{7}$.

Krok 4. Dodajemy ułamki o tym samym mianowniku. $\frac{5}{7}+\frac{3}{7}=\frac{8}{7}$.

Odpowiedź: D.

Krok 1. Na ile części dzielimy całą kwotę. Stosunek wpłat to 2:3:6, czyli myślowo dzielimy kwotę 154 000 zł na $2+3+6=11$ równych części.

Krok 2. Liczymy wartość jednej części. $154000:11=14000$ zł – tyle jest warta jedna część.

Krok 3. Liczymy wpłatę Janusza. Janusz wpłacił 3 części, więc $3\times 14000=42000$ zł.

Odpowiedź: C.

Krok 1. Ustalamy długość jednej części. Odcinek $RW$ podzielono na 5 równych części. Punkt $S$ jest w odległości 2 części od $R$, a $W$ jest w odległości 5 części od $R$ (bo $W$ to koniec całego podziału). Odległość od $S$ do $W$ to więc $5-2=3$ części, a w liczbach to $311-287=24$. Czyli 3 części to 24, więc jedna część to $24:3=8$.

Krok 2. Liczymy współrzędną $R$. $R$ jest 2 częściami przed $S$ (bo $S$ jest w odległości 2 części od $R$), czyli $R=287-2\times 8=287-16=271$.

Krok 3. Liczymy współrzędną $T$. $T$ jest w odległości 3 części od $R$, czyli $T=271+3\times 8=271+24=295$.

Krok 4. Sprawdzamy pierwsze zdanie. Różnica współrzędnych $R$ i $T$: $295-271=24$. To się zgadza – zdanie jest prawdziwe (P).

Krok 5. Sprawdzamy drugie zdanie. Obliczyliśmy w kroku 2, że $R=271$ – to również jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: PP.

Krok 1. Jaką drogę musi przejechać pociąg. Na początku liczymy moment, w którym czoło pociągu wjeżdża do tunelu. Koniec liczymy w momencie, kiedy ostatni wagon (czyli koniec całego pociągu) wyjeżdża z tunelu. Czoło pociągu musi więc przejechać całą długość tunelu ($d=350$ m), a do tego jeszcze cały pociąg musi „wysunąć się” z tunelu, czyli przejechać dodatkowo swoją własną długość ($l=150$ m). Razem droga do przejechania to $350+150=500$ m.

Krok 2. Liczymy czas. Czas = droga : prędkość, czyli $500:20=25$ s.

Odpowiedź: C.

Krok 1. Rozdzielamy nawias. Mnożymy $\sqrt{3}$ przez każdy pierwiastek w nawiasie osobno: $\sqrt{3}\cdot \sqrt{27}-\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}$.

Krok 2. Mnożymy pierwiastki tego samego stopnia. Gdy mnożymy dwa pierwiastki kwadratowe, możemy pomnożyć liczby pod pierwiastkiem: $\sqrt{3}\cdot \sqrt{27}=\sqrt{3\cdot 27}=\sqrt{81}=9$. Podobnie $\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}=\sqrt{3\cdot 12}=\sqrt{36}=6$.

Krok 3. Odejmujemy wyniki. $9-6=3$.

Odpowiedź: B.

Krok 1. Sprawdzamy A. $3\cdot 3^{14}=3^{1+14}=3^{15}$. To jest równe $3^{15}$.

Krok 2. Sprawdzamy B. $3^9\cdot 3^6=3^{9+6}=3^{15}$. To też jest równe $3^{15}$.

Krok 3. Sprawdzamy C. Zapisujemy $9=3^2$, więc $3^{17}:9=3^{17}:3^2=3^{17-2}=3^{15}$. To też się zgadza.

Krok 4. Sprawdzamy D. $(3^5{)}^3=3^{5\cdot 3}=3^{15}$. Też się zgadza.

Krok 5. Sprawdzamy E. Zapisujemy $9=3^2$, więc $9^{15}=(3^2{)}^{15}=3^{30}$. Zatem $9^{15}:3=3^{30}:3=3^{29}$. To NIE jest równe $3^{15}$ (mamy $3^{29}$, a nie $3^{15}$).

Odpowiedź: E.

Krok 1. Liczymy sumę wszystkich wyników. $200+205+202+206+208+198+202=1421$ cm.

Krok 2. Liczymy średnią arytmetyczną. W finale było 7 zawodników, więc średnia to $1421:7=203$ cm.

Krok 3. Sprawdzamy, którzy zawodnicy skoczyli wyżej niż 203 cm. Porównujemy każdy wynik ze średnią: 200 (nie), 205 (tak), 202 (nie), 206 (tak), 208 (tak), 198 (nie), 202 (nie). Wyżej niż średnia skoczyli zawodnicy z wynikami 205, 206 i 208 – to trzech zawodników.

Odpowiedź: B.

Krok 1. Ustalamy, które ściany są naprzeciwko siebie. W siatce cztery pola w jednym rzędzie (wypełniony trójkąt, wypełnione kółko, wypełniony kwadrat, konturowy trójkąt) po zwinięciu w kostkę tworzą pas czterech ścian bocznych, które się zamykają w pierścień – pierwsze i czwarte pole w tym pasie stykają się ze sobą, więc ścianami NAPRZECIWKO siebie są: pole 1 i pole 3 (czyli wypełniony trójkąt naprzeciwko wypełnionego kwadratu), oraz pole 2 i pole 4 (wypełnione kółko naprzeciwko konturowego trójkąta). Dodatkowe dwa pola (konturowe kółko i konturowy kwadrat), doklejone nad i pod polem z konturowym trójkątem, stają się po złożeniu górą i dołem kostki – więc konturowe kółko jest naprzeciwko konturowego kwadratu.

Krok 2. Sprawdzamy każdy rysunek pod kątem tych par. Poprawny rysunek to ten, na którym żadna z widocznych trzech ścian nie sąsiaduje z jej „przeciwną” ścianą z kroku 1 (bo na jednym rysunku kostki nie można jednocześnie zobaczyć dwóch ścian, które są naprzeciwko siebie) – i jednocześnie ułożenie widocznych ścian względem siebie (które figury stykają się w którym rogu) musi zgadzać się z ułożeniem w siatce.

Odpowiedź: C.

Krok 1. Pozbywamy się mianownika. Mamy $P=\frac{(x+y)\cdot h}{2}$. Żeby zniknął mianownik 2, mnożymy obie strony równania przez 2: $2P=(x+y)\cdot h$.

Krok 2. Pozbywamy się nawiasu z $h$. Żeby wyciągnąć $x+y$ z nawiasu, dzielimy obie strony przez $h$: $\frac{2P}{h}=x+y$.

Krok 3. Wyznaczamy samo $x$. Przenosimy $y$ na drugą stronę (odejmujemy $y$ od obu stron): $x=\frac{2P}{h}-y$.

Odpowiedź: D.

Krok 1. Sprawdzamy pierwsze zdanie. Romb ma wszystkie boki równe (po 4 cm). Krótsza przekątna łączy dwa wierzchołki, między którymi jest kąt ostry ($60°$). Ta przekątna dzieli romb na dwa trójkąty, każdy o dwóch bokach rombu (po 4 cm) i kącie $60°$ między nimi. Taki trójkąt ma dwa boki równe i kąt między nimi $60°$ – to znaczy, że trzeci kąt też musi wynosić $60°$ (bo suma kątów w trójkącie to $180°$, a przy dwóch równych bokach kąty przy podstawie są równe: $(180°-60°):2=60°$). Trójkąt, który ma wszystkie kąty po $60°$, jest równoboczny. Zdanie jest prawdziwe (P).

Krok 2. Sprawdzamy drugie zdanie. Skoro krótsza przekątna dzieli romb na dwa trójkąty równoboczne o boku 4 cm, to pole rombu to dwa razy pole jednego takiego trójkąta. Pole trójkąta równobocznego o boku $a$ liczymy ze wzoru $P_{△}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Dla $a=4$: $P_{△}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$ cm². Pole całego rombu: $2\times 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$ cm². Zdanie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: PP.

Krok 1. Szukamy reguły w liczbach 3, 8, 15, 24. Sprawdzamy różnice między kolejnymi długościami: $8-3=5$, $15-8=7$, $24-15=9$. Różnice rosną o 2 – to jest znak, że długość łamanej numer $n$ liczymy ze wzoru w postaci $n^2$ plus coś. Sprawdzamy: dla $n=1$: $1^2+2\cdot 1=1+2=3$ ✓. Dla $n=2$: $2^2+2\cdot 2=4+4=8$ ✓. Dla $n=3$: $3^2+2\cdot 3=9+6=15$ ✓. Dla $n=4$: $4^2+2\cdot 4=16+8=24$ ✓. Reguła się potwierdza: długość łamanej numer $n$ to $n^2+2n$, czyli $n\cdot (n+2)$.

Krok 2. Szukamy numeru łamanej o długości 48. Sprawdzamy $n=6$: $6\times (6+2)=6\times 8=48$. Zgadza się! Łamana o długości 48 ma numer VI.

Odpowiedź do pierwszego zdania: A (VI).

Krok 3. Liczymy długość łamanej numer VIII. Podstawiamy $n=8$: $8\times (8+2)=8\times 10=80$.

Odpowiedź do drugiego zdania: D (80).

Odpowiedź: A, D.

Krok 1. Zamieniamy wszystkie obniżki na tę samą postać – jaki procent ceny trzeba zapłacić.

• Alfa: płacisz $\frac{2}{3}$ ceny, czyli około $66,7\%$ ceny.
• Beta: obniżka o 30%, czyli płacisz $100\%-30\%=70\%$ ceny.
• Gamma: ścięto ćwierć ceny (czyli 25%), czyli płacisz $100\%-25\%=75\%$ ceny.

Krok 2. Porównujemy, gdzie płacimy najmniejszy procent ceny. $66,7\%<70\%<75\%$. Najmniej płacimy w sklepie Alfa, czyli tam cena po obniżce jest najniższa.

Odpowiedź: A.

Krok 1. Wysokość trójkąta równobocznego dzieli podstawę na pół. Wysokość $CD$ w trójkącie równobocznym pada dokładnie na środek podstawy $AB$, więc $AD=DB=10:2=5$ cm.

Krok 2. Liczymy długość wysokości $CD$ z twierdzenia Pitagorasa. W trójkącie prostokątnym $ADC$ (kąt prosty przy $D$) przyprostokątne to $AD=5$ cm i $CD$, a przeciwprostokątna to bok trójkąta $AC=10$ cm. Z twierdzenia Pitagorasa: $A{D}^2+C{D}^2=A{C}^2$, czyli $5^2+C{D}^2=10^2$, $25+C{D}^2=100$, $C{D}^2=75$, $CD=\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$ cm.

Krok 3. Liczymy obwód trójkąta $ADC$. Boki tego trójkąta to $AD=5$ cm, $DC=5\sqrt{3}$ cm i $AC=10$ cm. Obwód: $5+5\sqrt{3}+10=15+5\sqrt{3}$ cm.

Odpowiedź: D.

Krok 1. Które odcinki są podstawą i wysokością trójkąta. $KN$ jest wysokością trójkąta $KLM$ opuszczoną na bok $LM$ – to znaczy, że $LM$ jest podstawą, a $KN$ wysokością do tej podstawy. Podstawa ma długość $|LM|=2x$, a wysokość $|KN|=k+1$.

Krok 2. Stosujemy wzór na pole trójkąta. Pole trójkąta to $\frac{1}{2}\cdot \text{podstawa}\cdot \text{wysokosˊcˊ}$. Podstawiamy: $P=\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot (k+1)$.

Krok 3. Skracamy. $\frac{1}{2}\cdot 2x=x$, więc $P=x(k+1)$. Długość $|KL|=2y$ nie jest tu potrzebna – to informacja dodatkowa (mogłaby służyć do liczenia pola inaczej, ale my mamy już podstawę i wysokość).

Odpowiedź: A.

Krok 1. Zapisujemy warunek z zadania jako równanie. Wiemy, że kąt $\alpha$ jest równy różnicy dwóch pozostałych kątów. Nie wiemy, który z kątów $\beta$ czy $\gamma$ jest większy, ale możemy zapisać to na przykład tak: $\alpha =\beta -\gamma$ (czyli $\beta$ jest tym większym kątem).

Krok 2. Korzystamy z tego, że suma kątów w trójkącie to $180°$. Wiemy, że $\alpha +\beta +\gamma =180°$. Podstawiamy za $\alpha$ wyrażenie z kroku 1: $(\beta -\gamma )+\beta +\gamma =180°$.

Krok 3. Redukujemy podobne wyrazy. $\beta -\gamma +\beta +\gamma =2\beta$ (bo $-\gamma$ i $+\gamma$ się znoszą). Zostaje $2\beta =180°$.

Krok 4. Wyznaczamy kąt $\beta$. $\beta =180°:2=90°$.

Krok 5. Wniosek. Jeden z kątów tego trójkąta ($\beta$) ma miarę $90°$, a to oznacza, że trójkąt ma kąt prosty – czyli jest trójkątem prostokątnym. To należało wykazać.

Krok 1. Ustalamy, jakie miejsca może wybrać Edyta. Edyta chce siedzieć przy oknie – takich miejsc jest dwa: 45 (rząd górny) i 46 (rząd dolny).

Krok 2. Ustalamy, jakie miejsca może wybrać Agnieszka. Agnieszka chce siedzieć przodem do kierunku jazdy – to miejsca z rzędu dolnego: 42, 48, 44, 46 (cztery miejsca).

Krok 3. Łączymy wybory, pamiętając, że dziewczyny nie mogą wybrać tego samego miejsca. Sprawdzamy każdą możliwość dla Edyty:

• Jeśli Edyta wybierze miejsce 45, to Agnieszka może wybrać każde z czterech miejsc przodem do jazdy (42, 48, 44 lub 46) – żadne z nich nie jest miejscem Edyty, więc wszystkie cztery są możliwe: (45, 42), (45, 48), (45, 44), (45, 46).
• Jeśli Edyta wybierze miejsce 46, to miejsce 46 jest już zajęte przez Edytę, więc Agnieszka może wybrać tylko jedno z pozostałych trzech miejsc przodem do jazdy: 42, 48 lub 44. Możliwości: (46, 42), (46, 48), (46, 44).

Krok 4. Zliczamy wszystkie możliwości. Razem mamy $4+3=7$ możliwości wyboru miejsc.

Odpowiedź: Wszystkie możliwości wyboru miejsc (Edyta, Agnieszka) to: (45, 42), (45, 48), (45, 44), (45, 46), (46, 42), (46, 48), (46, 44) – w sumie 7 możliwości.

Krok 1. Oznaczamy liczbę wszystkich nagród. Niech $x$ oznacza liczbę wszystkich kupionych nagród (książek i e-booków razem).

Krok 2. Zapisujemy liczbę książek. Książki to $\frac{2}{3}$ wszystkich nagród, czyli $\frac{2}{3}x$.

Krok 3. Zapisujemy liczbę e-booków. Skoro wszystkich nagród jest $x$, a książek jest $\frac{2}{3}x$, to e-booków jest $x-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}x$.

Krok 4. Wykorzystujemy warunek o różnicy. E-booków było o 8 mniej niż książek, czyli: (liczba książek) $-$ (liczba e-booków) $=8$. Zapisujemy: $\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}x=8$.

Krok 5. Rozwiązujemy równanie. $\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}x$, więc $\frac{1}{3}x=8$, stąd $x=24$.

Krok 6. Liczymy liczbę książek. Książki to $\frac{2}{3}x=\frac{2}{3}\times 24=16$.

Odpowiedź: Kupiono 16 książek.

Krok 1. Ustalamy, ile dni ma marzec 2020 roku. Marzec ma 31 dni.

Krok 2. Liczymy, ile w marcu było sobót i niedziel. 1 marca 2020 roku wypadł w niedzielę. Niedziele w marcu wypadały więc na dni: 1, 8, 15, 22, 29 – to 5 niedzieli. Soboty wypadały dzień przed każdą niedzielą, czyli 7, 14, 21, 28 – to 4 soboty (sobota przed 1 marca to jeszcze luty, więc nie liczy się do marca). Razem dni wolnych: $5+4=9$.

Krok 3. Liczymy liczbę dni roboczych. $31-9=22$ dni roboczych.

Krok 4. Liczymy liczbę godzin pracy w całym marcu. Każdego dnia roboczego pracowano 7 godzin, więc w całym marcu: $22\times 7=154$ godziny.

Krok 5. Liczymy liczbę uszytych poduszek. W każdą godzinę szyto średnio 3 poduszki, więc w marcu uszyto $154\times 3=462$ poduszki.

Odpowiedź: W marcu 2020 roku w tym zakładzie uszyto 462 poduszki.

Krok 1. Liczymy powierzchnię boiska. Boisko to prostokąt o wymiarach 46 m i 30 m, więc jego powierzchnia to $46\times 30=1380$ m².

Krok 2. Liczymy, ile kilogramów nasion jest potrzebne. Na 40 m² potrzeba 1 kg nasion, więc na 1380 m² potrzeba $1380:40=34,5$ kg nasion.

Krok 3. Liczymy, ile trzeba kupić worków. Worki są 10-kilogramowe, więc liczba worków to $34,5:10=3,45$. Nie można kupić „części” worka – trzeba kupić pełne worki, więc zaokrąglamy w górę: potrzebne są 4 worki (3 worki dałyby tylko 30 kg, czyli za mało nasion).

Krok 4. Liczymy koszt. Jeden worek kosztuje 163 zł, więc 4 worki kosztują $4\times 163=652$ zł.

Odpowiedź: Koszt zakupu nasion trawy potrzebnych do obsiania tego boiska był równy 652 zł.

Krok 1. Liczymy pole podstawy. Podstawa to kwadrat o boku $a=5$ cm, więc jej pole to $P=a^2=5^2=25$ cm².

Krok 2. Liczymy wysokość ostrosłupa $H$. Z danych na rysunku (bok podstawy 5 cm i krawędź boczna 13 cm) korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, w którym jedną przyprostokątną jest wysokość $H$, drugą przyprostokątną jest odcinek o długości 5 cm (odczytany z rysunku), a przeciwprostokątną jest krawędź boczna 13 cm: $H^2+5^2=13^2$. Stąd $H^2=169-25=144$, czyli $H=\sqrt{144}=12$ cm.

Krok 3. Liczymy objętość ostrosłupa. Objętość ostrosłupa liczymy ze wzoru $V=\frac{1}{3}\cdot P\cdot H$. Podstawiamy: $V=\frac{1}{3}\times 25\times 12=\frac{300}{3}=100$ cm³.

Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa jest równa 100 cm³.