Arkusze

Matematyka

Matematyka — Maj 2024

Arkusz egzaminu ósmoklasisty z matematyki, sesja maj 2024 (CKE), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku w prostym języku.

Maj 2024 · CKE

Arkusz Zasady oceniania

Zadanie 1

1 pkt

Statystyka i prawdopodobieństwoodczytywanie danych z diagramów

Ala codziennie uczyła się języka hiszpańskiego. Na diagramie słupkowym przedstawiono, ile minut przeznaczyła na naukę tego języka w kolejnych dniach tygodnia od poniedziałku do soboty:

Dzień	pon.	wt.	śr.	czw.	pt.	sob.
Czas (minuty)	25	30	40	35	50	30

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Stwierdzenie	P	F
Ala przez cztery dni – od poniedziałku do czwartku – na naukę języka hiszpańskiego przeznaczyła łącznie 2 godziny i 10 minut.
Na naukę języka hiszpańskiego w sobotę Ala przeznaczyła o 40% czasu mniej niż w piątek.

Rozwiązanie

Krok 1. Sprawdzamy pierwsze zdanie. Odczytujemy z diagramu czas z czterech dni: poniedziałek 25 min, wtorek 30 min, środa 40 min, czwartek 35 min. Dodajemy je: $25 + 30 + 40 + 35 = 130$ minut. Zamieniamy na godziny i minuty: $130$ minut to $60 + 60 + 10$ , czyli $2$ godziny i $10$ minut. To się zgadza z tym, co jest w zdaniu — zdanie jest prawdziwe (P).

Krok 2. Sprawdzamy drugie zdanie. W piątek Ala uczyła się 50 minut. Liczymy, ile to jest 40% z 50 minut: $50 \cdot 0, 4 = 20$ minut. Jeśli w sobotę było o 40% czasu mniej niż w piątek, to sobota powinna wynosić $50 - 20 = 30$ minut. Z diagramu odczytujemy, że w sobotę Ala uczyła się właśnie 30 minut — to się zgadza. Zdanie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: PP.

Zadanie 2

1 pkt

Liczby i działaniaporównywanie ułamków

Wypisano ułamki spełniające łącznie następujące warunki:

mianownik każdego z nich jest równy 4,
licznik każdego z nich jest liczbą naturalną większą od mianownika,
każdy z tych ułamków jest większy od liczby 3 oraz mniejszy od liczby 5.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich ułamków spełniających powyższe warunki jest

A.
sześć.
B.
siedem.
C.
osiem.
D.
dziewięć.

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisujemy ułamek w ogólnej postaci. Każdy ułamek ma mianownik 4, więc zapisujemy go jako $\frac{n}{4}$ , gdzie $n$ to licznik.

Krok 2. Zapamiętujemy warunek z licznikiem. Licznik musi być liczbą naturalną większą od mianownika, czyli większą od 4 — to znaczy $n \geq 5$ .

Krok 3. Sprawdzamy warunek z wielkością ułamka. Ułamek musi być większy od 3, czyli $\frac{n}{4} > 3$ , co po pomnożeniu obu stron przez 4 daje $n > 12$ . Musi też być mniejszy od 5, czyli $\frac{n}{4} < 5$ , co daje $n < 20$ .

Krok 4. Łączymy warunki. Szukamy liczb naturalnych $n$ takich, że $12 < n < 20$ — to są liczby 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Wszystkie te liczby są też większe od 4, więc warunek z licznikiem jest spełniony automatycznie.

Krok 5. Liczymy, ile jest takich liczb. Liczb od 13 do 19 jest $19 - 13 + 1 = 7$ .

Odpowiedź: B (siedem).

Zadanie 3

1 pkt

Statystyka i prawdopodobieństwośrednia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna trzech liczb: 12, 14, $k$ , jest równa 16.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Stwierdzenie	P	F
Liczba $k$ jest równa 22.
Średnia arytmetyczna liczb: 12, 14, $k$ , 11, 17, jest większa od 16.

Rozwiązanie

Krok 1. Przypominamy, jak liczy się średnią. Średnia arytmetyczna trzech liczb to ich suma podzielona przez 3. Wiemy, że ta średnia wynosi 16, więc suma tych trzech liczb to $16 \cdot 3 = 48$ .

Krok 2. Wyznaczamy $k$ . Mamy $12 + 14 + k = 48$ , czyli $26 + k = 48$ , stąd $k = 22$ . Pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).

Krok 3. Sprawdzamy drugie zdanie. Liczymy sumę pięciu liczb: $12 + 14 + 22 + 11 + 17 = 76$ . Dzielimy przez 5 (bo jest 5 liczb): $76 : 5 = 15, 2$ .

Krok 4. Porównujemy z 16. $15, 2$ jest mniejsze od 16, a nie większe. Drugie zdanie jest fałszywe (F).

Odpowiedź: PF.

Zadanie 4

1 pkt

Liczby i działaniadziałania na ułamkach ze znakiem

Dane są dwie liczby $x$ i $y$ zapisane za pomocą wyrażeń arytmetycznych:

$x = \frac{4}{5} \cdot (- \frac{4}{3}) y = \frac{4}{5} + (- \frac{4}{3})$

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Liczba $y$ jest liczbą [ A / B ].

A. ujemną B. dodatnią

Liczba $x$ jest [ C / D ] od liczby $y$ .

C. mniejsza D. większa

Rozwiązanie

Krok 1. Liczymy $y$ . $y = \frac{4}{5} + (- \frac{4}{3}) = \frac{4}{5} - \frac{4}{3}$ . Sprowadzamy do wspólnego mianownika 15: $\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$ oraz $\frac{4}{3} = \frac{20}{15}$ . Więc $y = \frac{12}{15} - \frac{20}{15} = - \frac{8}{15}$ .

Krok 2. Sprawdzamy znak $y$ . $y = - \frac{8}{15}$ jest liczbą ujemną. Odpowiedź do pierwszego zdania: A (ujemną).

Krok 3. Liczymy $x$ . $x = \frac{4}{5} \cdot (- \frac{4}{3}) = - \frac{16}{15}$ .

Krok 4. Porównujemy $x$ i $y$ . Mamy $x = - \frac{16}{15}$ oraz $y = - \frac{8}{15}$ . Obie liczby są ujemne, więc mniejsza jest ta, która jest „dalej w lewo” na osi liczbowej, czyli ta, której wartość bez znaku minus jest większa. Ponieważ $\frac{16}{15} > \frac{8}{15}$ , to $- \frac{16}{15} < - \frac{8}{15}$ , czyli $x < y$ . Liczba $x$ jest mniejsza od liczby $y$ . Odpowiedź do drugiego zdania: C (mniejsza).

Odpowiedź: A, C.

Zadanie 5

1 pkt

Geometria płaskakąty w trapezie i równoległoboku

Dany jest trapez $A B C D$ , w którym bok $A B$ jest równoległy do boku $D C$ . W tym trapezie poprowadzono odcinek $E C$ równoległy do boku $A D$ (punkt $E$ leży na boku $A B$ ). Kąt przy wierzchołku $D$ (kąt $A D C$ ) ma miarę $135°$ , kąt przy wierzchołku $B$ (kąt $A B C$ ) ma miarę $80°$ , a kąt $α$ oznaczono przy wierzchołku $C$ , między odcinkiem $E C$ a bokiem $C B$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kąt $α$ ma miarę

Trapez ABCD z bokiem AB równoległym do DC; odcinek EC równoległy do AD; kąt przy D równy 135°, kąt przy B równy 80°, kąt α między EC i CB przy wierzchołku C

A.
55°
B.
50°
C.
45°
D.
20°

Rozwiązanie

Krok 1. Zauważamy czworokąt $A E C D$ . Bok $A E$ jest częścią boku $A B$ , a $A B$ jest równoległy do $D C$ — więc $A E$ jest równoległy do $D C$ . Dodatkowo z treści zadania $E C$ jest równoległy do $A D$ . Czworokąt $A E C D$ ma więc obie pary przeciwnych boków równoległe, czyli jest równoległobokiem.

Krok 2. Wykorzystujemy własność równoległoboku. W równoległoboku przeciwległe kąty (te, które nie stykają się w żadnym wspólnym boku) są równe. W czworokącie $A E C D$ takimi przeciwległymi kątami są kąt przy $D$ i kąt przy $E$ . Kąt przy $D$ to $135°$ , więc kąt przy $E$ (czyli kąt $A E C$ , między $E A$ i $E C$ ) też jest równy $135°$ .

Krok 3. Liczymy kąt $C E B$ . Punkty $A$ , $E$ , $B$ leżą na jednej prostej (bo $E$ leży na boku $A B$ ), więc kąty $A E C$ i $C E B$ razem tworzą kąt półpełny: $∠ A E C + ∠ C E B = 180°$ . Stąd $∠ C E B = 180° - 135° = 45°$ .

Krok 4. Zapisujemy sumę kątów w trójkącie $E C B$ . Trójkąt $E C B$ ma kąty: $∠ C E B = 45°$ , kąt przy $B$ równy $80°$ (to jest kąt trapezu przy wierzchołku $B$ , bo $E B$ jest częścią $A B$ ) oraz szukany kąt $α$ przy $C$ . Suma kątów w trójkącie to $180°$ : $45° + 80° + α = 180°$ .

Krok 5. Wyznaczamy $α$ . $α = 180° - 45° - 80° = 55°$ .

Odpowiedź: A (55°).

Zadanie 6

1 pkt

Wyrażenia algebraiczne i równaniaprzekształcanie wzorów

Dane jest równanie

$5 x = \frac{y}{w}, gdzie x, y, w s ą r \overset{o}{ˊ} \overset{z}{˙} ne od 0.$

Zadaniem Pawła było przekształcenie tego równania tak, aby wyznaczyć $x$ , $y$ , $w$ . Paweł otrzymał trzy równania:

I. $x = \frac{y}{5 w}$ II. $y = \frac{5 x}{w}$ III. $w = \frac{y}{5 x}$

Które z równań I–III są poprawnymi przekształceniami równania $5 x = \frac{y}{w}$ ? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A.
I i II
B.
II i III
C.
I i III
D.
I, II, III

Rozwiązanie

Krok 1. Sprawdzamy równanie I. Zaczynamy od $5 x = \frac{y}{w}$ . Żeby wyznaczyć $x$ , dzielimy obie strony przez 5: $x = \frac{y}{5 w}$ . To zgadza się z równaniem I — jest poprawne.

Krok 2. Sprawdzamy równanie II. Żeby wyznaczyć $y$ , mnożymy obie strony równania $5 x = \frac{y}{w}$ przez $w$ : $y = 5 x w$ . Paweł napisał $y = \frac{5 x}{w}$ , czyli podzielił przez $w$ zamiast pomnożyć — to jest błędne przekształcenie.

Krok 3. Sprawdzamy równanie III. Mnożymy obie strony równania $5 x = \frac{y}{w}$ przez $w$ , dostając $5 x w = y$ , a potem dzielimy obie strony przez $5 x$ : $w = \frac{y}{5 x}$ . To zgadza się z równaniem III — jest poprawne.

Krok 4. Podsumowanie. Poprawne są tylko równania I i III.

Odpowiedź: C (I i III).

Zadanie 7

1 pkt

Potęgi i pierwiastkiwłasności potęg

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Stwierdzenie	P	F
Iloczyn $3 \cdot 9^{5}$ jest równy wartości wyrażenia $3^{11}$ .
Wyrażenie $\frac{2 ^{8} \cdot 2 ^{7}}{2 ^{10}}$ można zapisać w postaci $2^{5}$ .

Rozwiązanie

Krok 1. Sprawdzamy pierwsze zdanie. Zamieniamy 9 na potęgę liczby 3: $9 = 3^{2}$ , więc $9^{5} = (3^{2})^{5} = 3^{2 \cdot 5} = 3^{10}$ (przy potędze potęgi mnożymy wykładniki). Wtedy $3 \cdot 9^{5} = 3^{1} \cdot 3^{10} = 3^{1 + 10} = 3^{11}$ . To się zgadza z treścią zdania — zdanie jest prawdziwe (P).

Krok 2. Sprawdzamy drugie zdanie. W liczniku mnożymy potęgi o tej samej podstawie, czyli dodajemy wykładniki: $2^{8} \cdot 2^{7} = 2^{8 + 7} = 2^{15}$ . Teraz dzielimy przez $2^{10}$ , czyli odejmujemy wykładniki: $2^{15} : 2^{10} = 2^{15 - 10} = 2^{5}$ . To się zgadza z treścią zdania — zdanie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: PP.

Zadanie 8

1 pkt

Statystyka i prawdopodobieństwoprawdopodobieństwo klasyczne

Karolina kupiła jedno pudełko balonów. W tabeli podano informacje dotyczące kolorów balonów oraz ich liczby w tym pudełku.

Kolor balonu	czerwony	niebieski	zielony	żółty
Liczba balonów	10	8	6	8

Karolina wyjmowała losowo po jednym balonie z pudełka. Pierwsze dwa wyjęte balony były w kolorze czerwonym.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzeci balon losowo wyjęty przez Karolinę będzie w kolorze czerwonym? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A.
$\frac{1}{3}$
B.
$\frac{5}{16}$
C.
$\frac{4}{15}$
D.
$\frac{1}{4}$

Rozwiązanie

Krok 1. Liczymy, ile balonów było na początku. $10 + 8 + 6 + 8 = 32$ balony.

Krok 2. Sprawdzamy, co zostało w pudełku po dwóch losowaniach. Karolina wyjęła już dwa czerwone balony i nie wkłada ich z powrotem. Zostało więc $32 - 2 = 30$ balonów, a czerwonych zostało $10 - 2 = 8$ .

Krok 3. Liczymy prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonego balonu to liczba czerwonych balonów podzielona przez liczbę wszystkich pozostałych balonów: $\frac{8}{30} = \frac{4}{15}$ .

Odpowiedź: C ( $\frac{4}{15}$ ).

Zadanie 9

1 pkt

Wyrażenia algebraiczne i równaniaprzekształcanie wyrażeń algebraicznych

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyrażenie $x (x + 4) - 3 (2 x - 5)$ można przekształcić równoważnie do postaci

A.
$x^{2} + 2 x - 5$
B.
$x^{2} - 2 x + 5$
C.
$x^{2} + 2 x - 15$
D.
$x^{2} - 2 x + 15$

Rozwiązanie

Krok 1. Mnożymy pierwszy nawias. $x (x + 4) = x \cdot x + x \cdot 4 = x^{2} + 4 x$ .

Krok 2. Mnożymy drugi nawias. $3 (2 x - 5) = 3 \cdot 2 x - 3 \cdot 5 = 6 x - 15$ . Przed tym nawiasem jest minus, więc odejmujemy cały ten wynik: $- 3 (2 x - 5) = - 6 x + 15$ .

Krok 3. Łączymy wszystko. $x^{2} + 4 x - 6 x + 15$ .

Krok 4. Redukujemy podobne wyrazy. $4 x - 6 x = - 2 x$ , więc dostajemy $x^{2} - 2 x + 15$ .

Odpowiedź: D.

Zadanie 10

1 pkt

Obliczenia praktyczneobliczenia zegarowe

Podróż pociągiem z Olsztyna do Gdyni planowo trwa 2 godziny i 54 minuty. Pewnego dnia pociąg wyjechał z Olsztyna punktualnie o wyznaczonej godzinie, ale przyjechał do Gdyni z czterominutowym opóźnieniem o godzinie 17:31.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pociąg wyjechał z Olsztyna o godzinie

A.
14:27
B.
14:41
C.
14:31
D.
14:33

Rozwiązanie

Krok 1. Ustalamy, jak długo pociąg naprawdę jechał. Pociąg wyjechał punktualnie, ale przyjechał z 4-minutowym opóźnieniem. To znaczy, że cała podróż trwała dłużej niż planowano — dokładnie o te 4 minuty. Rzeczywisty czas jazdy to $2$ godziny $54$ minuty $+ 4$ minuty $= 2$ godziny $58$ minut.

Krok 2. Liczymy godzinę wyjazdu. Pociąg przyjechał o 17:31, a jechał 2 godziny 58 minut, więc godzinę wyjazdu liczymy, odejmując ten czas od 17:31. Najpierw odejmujemy 2 godziny: $17 : 31 - 2 h = 15 : 31$ . Teraz odejmujemy jeszcze 58 minut. Odejmujemy najpierw 31 minut, żeby dojść do pełnej godziny: $15 : 31 - 31 min = 15 : 00$ . Zostało jeszcze $58 - 31 = 27$ minut do odjęcia: $15 : 00 - 27 min = 14 : 33$ .

Odpowiedź: D (14:33).

Zadanie 11

1 pkt

Zależności, wzory i wykresy funkcyjneproporcjonalność prosta na wykresie

Na wykresie przedstawiono zależność pola pomalowanej powierzchni od ilości zużytej farby. Pole pomalowanej powierzchni jest wprost proporcjonalne do ilości zużytej farby. Z wykresu można odczytać, że 5 litrom farby odpowiada 50 m² pomalowanej powierzchni, 10 litrom – 100 m², 15 litrom – 150 m², a 20 litrom – 200 m².

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Stwierdzenie	P	F
18 litrów tej farby wystarczy na pomalowanie 180 m² powierzchni.
Na pomalowanie 125 m² powierzchni wystarczy 12 litrów tej farby.

Rozwiązanie

Krok 1. Znajdujemy przelicznik. Z wykresu widzimy, że 5 litrów farby maluje 50 m², czyli 1 litr maluje $50 : 5 = 10$ m². Sprawdzamy to na innych punktach: 10 litrów to 100 m² ( $100 : 10 = 10$ — zgadza się), 20 litrów to 200 m² ( $200 : 20 = 10$ — też się zgadza). Czyli zawsze: pole (w m²) = $10 \times$ ilość farby (w litrach).

Krok 2. Sprawdzamy pierwsze zdanie. Dla 18 litrów: $10 \times 18 = 180$ m². Zdanie mówi właśnie o 180 m² — to się zgadza. Zdanie jest prawdziwe (P).

Krok 3. Sprawdzamy drugie zdanie. Sprawdzamy, ile litrów potrzeba na 125 m²: $125 : 10 = 12, 5$ litra. Zdanie mówi, że wystarczy 12 litrów, ale potrzeba $12, 5$ litra — 12 litrów pomalowałoby tylko $10 \times 12 = 120$ m², czyli mniej niż 125 m². Zdanie jest fałszywe (F).

Odpowiedź: PF.

Zadanie 12

1 pkt

Geometria analitycznawspółrzędne punktów

W układzie współrzędnych $(x, y)$ zaznaczono pięć punktów $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ , $P_{4}$ oraz $P_{5}$ (wszystkie o współrzędnych całkowitych). Punkt $P_{1}$ ma współrzędne $(- 1, - 2)$ . Odczytując położenie punktów na rysunku, można ustalić, że: $P_{2} = (3, 1)$ , $P_{3} = (- 5, 1)$ , $P_{4} = (2, 2)$ , $P_{5} = (- 4, 2)$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Jeżeli współrzędną $x$ punktu $P_{1}$ zwiększymy o 4, a współrzędną $y$ tego punktu zwiększymy o 3, to otrzymamy współrzędne punktu

Układ współrzędnych z pięcioma punktami P1(-1,-2), P2(3,1), P3(-5,1), P4(2,2), P5(-4,2)

A.
$P_{2}$
B.
$P_{3}$
C.
$P_{4}$
D.
$P_{5}$

Rozwiązanie

Krok 1. Zwiększamy współrzędną $x$ . Punkt $P_{1}$ ma współrzędne $(- 1, - 2)$ . Zwiększamy $x$ o 4: $- 1 + 4 = 3$ .

Krok 2. Zwiększamy współrzędną $y$ . Zwiększamy $y$ o 3: $- 2 + 3 = 1$ .

Krok 3. Odczytujemy nowy punkt. Otrzymujemy punkt o współrzędnych $(3, 1)$ . Sprawdzamy, który z podanych punktów ma takie współrzędne — to jest $P_{2} = (3, 1)$ .

Odpowiedź: A ( $P_{2}$ ).

Zadanie 13

1 pkt

Wyrażenia algebraiczne i równaniatworzenie wyrażeń algebraicznych z figury geometrycznej

Na rysunku przedstawiono prostokąt o bokach długości $a$ i $b$ podzielony na sześć kwadratów: w lewej kolumnie znajdują się dwa równe kwadraty (jeden nad drugim), a w prawej kolumnie – jeden duży kwadrat, pod którym w jednym rzędzie leżą trzy równe, małe kwadraty (o boku równym szerokości dużego kwadratu podzielonej na 3).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek długości boków $a : b$ tego prostokąta jest równy

Prostokąt o bokach a i b podzielony na sześć kwadratów: dwa równe kwadraty w lewej kolumnie jeden nad drugim, duży kwadrat w prawej kolumnie nad rzędem trzech małych kwadratów

A.
6:5
B.
5:4
C.
4:3
D.
3:2

Rozwiązanie

Krok 1. Oznaczamy bok najmniejszego kwadratu. Niech $s$ oznacza długość boku jednego z trzech małych kwadratów w prawym dolnym rzędzie.

Krok 2. Wyrażamy bok dużego kwadratu. Duży kwadrat (w prawej kolumnie, nad małymi kwadratami) ma taką samą szerokość, jak te trzy małe kwadraty razem — bo stoją jeden przy drugim, dokładnie pod nim. Szerokość trzech małych kwadratów to $3 s$ , więc bok dużego kwadratu też jest równy $3 s$ (to kwadrat — bok i wysokość są takie same).

Krok 3. Wyrażamy wysokość całego prostokąta ( $b$ ) przez prawą kolumnę. Prawa kolumna to duży kwadrat ( $3 s$ ) plus rząd małych kwadratów ( $s$ ) jeden pod drugim: $b = 3 s + s = 4 s$ .

Krok 4. Wyrażamy bok lewych kwadratów. Lewa kolumna ma dwa równe kwadraty, jeden nad drugim, o łącznej wysokości równej tej samej wysokości $b = 4 s$ (obie kolumny mają tę samą wysokość, bo to jeden prostokąt). Każdy z tych dwóch kwadratów ma więc wysokość $4 s : 2 = 2 s$ — a skoro to kwadrat, jego bok (czyli też szerokość lewej kolumny) wynosi $2 s$ .

Krok 5. Liczymy szerokość całego prostokąta ( $a$ ). Szerokość prostokąta to szerokość lewej kolumny plus szerokość prawej kolumny: $a = 2 s + 3 s = 5 s$ .

Krok 6. Liczymy stosunek $a : b$ . $a : b = 5 s : 4 s = 5 : 4$ .

Odpowiedź: B (5:4).

Zadanie 14

1 pkt

Geometria płaskapole trójkąta prostokątnego

W trójkącie prostokątnym $A B C$ (kąt prosty przy wierzchołku $A$ ) przyprostokątną $A C$ wydłużono o 7 cm do punktu $E$ , a przyprostokątną $A B$ wydłużono o 12 cm do punktu $D$ , otrzymując trójkąt prostokątny równoramienny $A D E$ (kąt prosty także przy wierzchołku $A$ ) o polu równym 200 cm².

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Stwierdzenie	P	F
Przyprostokątna trójkąta $A D E$ jest równa 20 cm.
Pole trójkąta $A B C$ jest równe 52 cm².

Trójkąt prostokątny ABC (kąt prosty przy A) z przyprostokątną AC wydłużoną o 7 cm do E i przyprostokątną AB wydłużoną o 12 cm do D, tworzące trójkąt prostokątny równoramienny ADE

Rozwiązanie

Krok 1. Wyznaczamy przyprostokątne trójkąta $A D E$ . Trójkąt $A D E$ jest prostokątny (kąt prosty przy $A$ ) i równoramienny, więc jego dwie przyprostokątne $A D$ i $A E$ są równe. Oznaczmy tę długość jako $k$ .

Krok 2. Wykorzystujemy pole. Pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu przyprostokątnych: $\frac{1}{2} \cdot k \cdot k = 200$ , czyli $k^{2} = 400$ , stąd $k = 20$ cm.

Krok 3. Sprawdzamy pierwsze zdanie. Przyprostokątna trójkąta $A D E$ wynosi 20 cm — to się zgadza z treścią zdania. Zdanie jest prawdziwe (P).

Krok 4. Wyznaczamy boki trójkąta $A B C$ . Wiemy, że $A D = A B + 12$ (bo $A B$ wydłużono o 12 cm do $D$ ), a $A D = 20$ , więc $A B = 20 - 12 = 8$ cm. Podobnie $A E = A C + 7$ , a $A E = 20$ , więc $A C = 20 - 7 = 13$ cm.

Krok 5. Liczymy pole trójkąta $A B C$ . Trójkąt $A B C$ jest prostokątny (kąt prosty przy $A$ ), więc jego pole to $\frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 13 = 52$ cm².

Krok 6. Sprawdzamy drugie zdanie. Otrzymaliśmy pole równe 52 cm² — to się zgadza z treścią zdania. Zdanie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: PP.

Zadanie 15

1 pkt

Stereometriapole powierzchni ostrosłupa

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Pole powierzchni całkowitej tej bryły jest równe $P$ , a jedna ściana boczna ma pole równe $\frac{2}{9} P$ .

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe [ A / B ].

A. $\frac{6}{9} P$ B. $\frac{8}{9} P$

Pole powierzchni podstawy tego ostrosłupa jest dwa razy [ C / D ] niż pole powierzchni jego jednej ściany bocznej.

C. mniejsze D. większe

Rozwiązanie

Krok 1. Przypominamy budowę ostrosłupa czworokątnego. Ma on 4 takie same ściany boczne (trójkąty) i jedną podstawę (kwadrat).

Krok 2. Liczymy pole powierzchni bocznej. Powierzchnia boczna to suma pól 4 jednakowych ścian bocznych: $4 \cdot \frac{2}{9} P = \frac{8}{9} P$ . Odpowiedź do pierwszego zdania: B ( $\frac{8}{9} P$ ).

Krok 3. Liczymy pole podstawy. Cała powierzchnia całkowita to podstawa plus powierzchnia boczna: $P = pole podstawy + \frac{8}{9} P$ . Stąd pole podstawy $= P - \frac{8}{9} P = \frac{1}{9} P$ .

Krok 4. Porównujemy pole podstawy z polem jednej ściany bocznej. Jedna ściana boczna ma pole $\frac{2}{9} P$ , a podstawa ma pole $\frac{1}{9} P$ . Dzielimy: $\frac{2}{9} P : \frac{1}{9} P = 2$ , czyli ściana boczna jest 2 razy większa od podstawy — inaczej mówiąc, podstawa jest 2 razy mniejsza od jednej ściany bocznej. Odpowiedź do drugiego zdania: C (mniejsze).

Odpowiedź: B, C.

Zadanie 16

2 pkt

Wyrażenia algebraiczne i równaniazadania tekstowe z ułamkami

Ela i Ania dostały w prezencie po jednym zestawie puzzli o takiej samej liczbie elementów. Ela ułożyła $\frac{2}{5}$ swoich puzzli, a Ania $\frac{1}{3}$ swoich. Dziewczynki ułożyły łącznie 440 elementów.

Oblicz, z ilu elementów składa się jeden zestaw puzzli. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Oznaczamy szukaną liczbę. Niech $x$ oznacza liczbę elementów w jednym zestawie puzzli (obie dziewczynki miały taki sam zestaw).

Krok 2. Zapisujemy, ile elementów ułożyła każda z nich. Ela ułożyła $\frac{2}{5} x$ elementów, a Ania $\frac{1}{3} x$ elementów.

Krok 3. Układamy równanie. Razem ułożyły 440 elementów, więc $\frac{2}{5} x + \frac{1}{3} x = 440$ .

Krok 4. Dodajemy ułamki po lewej stronie. Sprowadzamy $\frac{2}{5}$ i $\frac{1}{3}$ do wspólnego mianownika 15: $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$ , $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$ . Razem: $\frac{6}{15} x + \frac{5}{15} x = \frac{11}{15} x$ . Równanie ma teraz postać $\frac{11}{15} x = 440$ .

Krok 5. Wyznaczamy $x$ . Mnożymy obie strony przez $\frac{15}{11}$ (żeby zostało samo $x$ ): $x = 440 \cdot \frac{15}{11} = \frac{6600}{11} = 600$ .

Odpowiedź: Jeden zestaw puzzli składa się z 600 elementów.

Zadanie 17

3 pkt

Geometria płaskatwierdzenie Pitagorasa

Prostokąt $A B C D$ podzielono na trzy trójkąty: $A E D$ , $A C E$ , $A B C$ (zobacz rysunek). Na rysunku podano długości dwóch boków trójkąta $A E D$ : $∣ A D ∣ = 20$ cm, $∣ D E ∣ = 15$ cm (punkt $E$ leży na boku $D C$ ), oraz zaznaczono dwa kąty trójkąta $A C E$ o takiej samej mierze $α$ (kąt przy wierzchołku $A$ między $A E$ i $A C$ oraz kąt przy wierzchołku $C$ między $C A$ i $C E$ ).

Oblicz pole trapezu $A B C E$ . Zapisz obliczenia.

Prostokąt ABCD podzielony na trójkąty AED, ACE, ABC; podano DE=15 cm, AD=20 cm oraz dwa równe kąty α trójkąta ACE przy wierzchołkach A i C

Rozwiązanie

Krok 1. Zauważamy, że trójkąt $A E D$ jest prostokątny. Punkt $D$ jest wierzchołkiem prostokąta, więc kąt $A D E$ jest kątem prostym (kątem prostokąta). Bokami tego trójkąta są przyprostokątne $A D = 20$ cm i $D E = 15$ cm, a przeciwprostokątną jest $A E$ .

Krok 2. Liczymy długość $A E$ z twierdzenia Pitagorasa. $∣ A E ∣^{2} = ∣ A D ∣^{2} + ∣ D E ∣^{2} = 2 0^{2} + 1 5^{2} = 400 + 225 = 625$ , więc $∣ A E ∣ = 625 = 25$ cm.

Krok 3. Wykorzystujemy, że trójkąt $A C E$ jest równoramienny. Kąty przy podstawie $A C$ tego trójkąta (kąty przy wierzchołkach $A$ i $C$ ) mają tę samą miarę $α$ — to znaczy, że boki leżące naprzeciwko tych kątów też są równe: bok naprzeciwko kąta przy $A$ to $E C$ , a bok naprzeciwko kąta przy $C$ to $A E$ . Zatem $∣ E C ∣ = ∣ A E ∣ = 25$ cm.

Krok 4. Liczymy długość boku $A B$ prostokąta. Punkt $E$ leży na boku $D C$ , między $D$ i $C$ , więc $∣ D C ∣ = ∣ D E ∣ + ∣ E C ∣ = 15 + 25 = 40$ cm. W prostokącie $A B C D$ boki $A B$ i $D C$ są równe, więc $∣ A B ∣ = 40$ cm.

Krok 5. Obliczamy pole trapezu $A B C E$ . Trapez $A B C E$ ma dwie podstawy równoległe: $A B = 40$ cm (dłuższa) i $E C = 25$ cm (krótsza) — obie są równoległe, bo $E C$ leży na $D C$ , a $D C$ jest równoległy do $A B$ (to boki prostokąta). Wysokością tego trapezu jest odległość między tymi bokami, czyli bok $A D = 20$ cm (bok prostokąta prostopadły do $A B$ i $D C$ ). Ze wzoru na pole trapezu: $P = \frac{A B + E C}{2} \cdot A D = \frac{40 + 25}{2} \cdot 20 = \frac{65}{2} \cdot 20 = 650$ cm².

Odpowiedź: Pole trapezu $A B C E$ jest równe 650 cm².

Zadanie 18

3 pkt

Obliczenia praktycznekoszty zakupu i sprzedaży

Pan Jan sprzedał w swoim sklepie 120 kg truskawek. Połowę masy tych truskawek sprzedał w dużych opakowaniach, 10% masy truskawek – w średnich, a pozostałe truskawki – w małych opakowaniach. W tabeli podano informacje dotyczące sprzedaży truskawek w sklepie pana Jana.

Rodzaj opakowania	Masa truskawek w opakowaniu	Cena opakowania z truskawkami
duże	1 kg	18 zł
średnie	0,5 kg	10 zł
małe	0,25 kg	6 zł

Oblicz, jaką kwotę otrzymał pan Jan ze sprzedaży wszystkich truskawek. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Liczymy masę truskawek sprzedanych w każdym rodzaju opakowań. Duże opakowania: połowa z 120 kg, czyli $120 : 2 = 60$ kg. Średnie opakowania: 10% z 120 kg, czyli $120 \cdot 0, 1 = 12$ kg. Małe opakowania: to, co zostało, czyli $120 - 60 - 12 = 48$ kg.

Krok 2. Liczymy, ile było opakowań każdego rodzaju. Duże opakowania mają po 1 kg, więc było ich $60 : 1 = 60$ . Średnie opakowania mają po 0,5 kg, więc było ich $12 : 0, 5 = 24$ . Małe opakowania mają po 0,25 kg, więc było ich $48 : 0, 25 = 192$ .

Krok 3. Liczymy kwotę ze sprzedaży każdego rodzaju opakowań. Duże: $60 \cdot 18 = 1080$ zł. Średnie: $24 \cdot 10 = 240$ zł. Małe: $192 \cdot 6 = 1152$ zł.

Krok 4. Dodajemy wszystkie kwoty. $1080 + 240 + 1152 = 2472$ zł.

Odpowiedź: Pan Jan otrzymał ze sprzedaży wszystkich truskawek 2472 zł.

Zadanie 19

2 pkt

Stereometriaobjętość ostrosłupa

Z trzech jednakowych klocków w kształcie sześcianu i jednego klocka w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zbudowano dwie wieże (zobacz rysunek): wieża I to jeden sześcian, na którym stoi ostrosłup, a wieża II to dwa sześciany postawione jeden na drugim. Krawędź sześcianu ma długość 10 cm. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 9 cm, a jego objętość jest równa 324 cm³.

Oblicz różnicę wysokości obu wież. Zapisz obliczenia.

Dwie wieże z klocków: wieża I – sześcian z ostrosłupem prawidłowym czworokątnym na wierzchu, wieża II – dwa sześciany jeden na drugim

Rozwiązanie

Krok 1. Ustalamy, z czego liczymy wysokość ostrosłupa. Objętość ostrosłupa liczymy ze wzoru $V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H$ , gdzie $P_{p}$ to pole podstawy, a $H$ to wysokość ostrosłupa. Podstawą jest kwadrat o boku 9 cm, więc $P_{p} = 9 \cdot 9 = 81$ cm².

Krok 2. Wyznaczamy wysokość ostrosłupa. Wiemy, że $V = 324$ cm³, więc $324 = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot H$ , czyli $324 = 27 \cdot H$ . Stąd $H = 324 : 27 = 12$ cm.

Krok 3. Liczymy wysokość wieży I. Wieża I to sześcian (o wysokości 10 cm, bo to jego krawędź) z ostrosłupem na wierzchu (o wysokości 12 cm): $10 + 12 = 22$ cm.

Krok 4. Liczymy wysokość wieży II. Wieża II to dwa sześciany jeden na drugim: $10 + 10 = 20$ cm.

Krok 5. Liczymy różnicę wysokości. $22 - 20 = 2$ cm.

Odpowiedź: Różnica wysokości obu wież jest równa 2 cm.

Przeczytaj także

Zobacz wszystkie

Matematyka — Maj 2026

Arkusz egzaminu ósmoklasisty z matematyki, sesja maj 2026 (CKE), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku w prostym języku.

Matematyka — Maj 2025

Arkusz egzaminu ósmoklasisty z matematyki, sesja maj 2025 (CKE), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku w prostym języku.

Matematyka — Maj 2023

Arkusz egzaminu ósmoklasisty z matematyki, sesja maj 2023 (CKE), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku w prostym języku.