Matematyka — Maj 2023

Krok 1. Sprawdzamy, ile razy większa jest porcja. Przepis jest na 8 gofrów. Chcemy 40 gofrów, więc porcję trzeba powiększyć $40:8=5$ razy. Wszystkie składniki musimy więc pomnożyć przez 5, żeby zachować te same proporcje.

Krok 2. Liczymy jajka na 40 gofrów. Na 8 gofrów potrzeba 2 jajek, więc na 40 gofrów potrzeba $2\times 5=10$ jajek. Pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).

Krok 3. Sprawdzamy, ile razy większa jest druga porcja. Chcemy 72 gofry, czyli porcję trzeba powiększyć $72:8=9$ razy.

Krok 4. Liczymy mleko na 72 gofry. Na 8 gofrów potrzeba $1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$ szklanki mleka. Na 72 gofry potrzeba $\frac{4}{3}\times 9=\frac{36}{3}=12$ szklanek. Drugie zdanie jest też prawdziwe (P).

Odpowiedź: PP.

Krok 1. Liczymy sześcian liczby 4. Sześcian to liczba do trzeciej potęgi: $4^3=4\times 4\times 4=64$. To jest pierwsza liczba hasła.

Krok 2. Szukamy najmniejszego wspólnego mianownika ułamków $\frac{1}{15}$ i $\frac{1}{25}$. Rozkładamy mianowniki na czynniki: $15=3\times 5$, $25=5\times 5$. Najmniejszy wspólny mianownik musi zawierać wszystkie te czynniki w największej potrzebnej ilości: jedną trójkę i dwie piątki, czyli $3\times 5\times 5=75$. To jest druga liczba hasła.

Krok 3. Składamy hasło. Pierwsza liczba to 64, druga to 75, więc hasło to 64T75.

Odpowiedź: D.

Krok 1. Sprawdzamy każde wyrażenie dla $x=1$. Podstawiamy $x=1$ do każdego wzoru: $G=2\cdot 1+2=4$, $H=2\cdot 1+2\cdot 1=4$, $J=2\cdot 1-2=0$, $K=2\cdot 1-2\cdot 1=0$. Zerowy wynik dają tylko $J$ i $K$ — resztę możemy odrzucić.

Krok 2. Sprawdzamy $J$ i $K$ dla $x=-1$. Dla $J$: $J=2\cdot (-1{)}^2-2=2\cdot 1-2=0$. Dla $K$: $K=2\cdot (-1{)}^2-2\cdot (-1)=2+2=4$, czyli nie zero.

Krok 3. Wybieramy wyrażenie, które daje zero w obu przypadkach. Tylko $J$ daje $0$ zarówno dla $x=1$, jak i dla $x=-1$.

Odpowiedź: C.

Krok 1. Ustalamy wymiary jednej książki z pierwszej półki. Na półce I książki leżą płasko: 2 książki obok siebie zapełniają całą szerokość 28 cm, więc długość jednej książki (ten bok, który leży w poziomie) to $28:2=14$ cm. Sześć książek leżących jedna na drugiej zapełnia całą wysokość 21 cm, więc grubość (czyli cieńszy bok) jednej książki to $21:6=3,5$ cm.

Krok 2. Ustalamy, jak książka stoi na drugiej półce. Na półce II ta sama książka stoi teraz na wąskiej krawędzi — to znaczy, że w górę „patrzy” jej długość (14 cm, dlatego nad książkami jest wolne miejsce: $21-14=7$ cm), a w poziomie (wzdłuż szerokości półki) „leży” jej grubość, czyli 3,5 cm.

Krok 3. Liczymy, ile takich książek zmieści się w rzędzie. Szerokość półki to 28 cm, a każda książka zajmuje w poziomie 3,5 cm. Liczba książek: $28:3,5=8$.

Odpowiedź: B.

Krok 1. Liczymy pierwsze wyrażenie. $\sqrt{81}=9$ (bo $9^2=81$), a $\sqrt{49}=7$ (bo $7^2=49$). Odejmujemy PO OBLICZENIU pierwiastków, nie przed: $9-7=2$. Uwaga: $\sqrt{81}-\sqrt{49}$ to NIE to samo co $\sqrt{81-49}=\sqrt{32}$ — to częsta pułapka, ale pierwiastków nie odejmuje się „pod jednym korzeniem”, tylko liczy się każdy z nich osobno.

Odpowiedź do pierwszego zdania: A (2).

Krok 2. Liczymy drugie wyrażenie. $\sqrt{144}=12$ (bo $12^2=144$), a $\sqrt{25}=5$ (bo $5^2=25$). Dodajemy: $12+5=17$.

Odpowiedź do drugiego zdania: D (17).

Odpowiedź: A, D.

Krok 1. Oznaczamy liczbę jabłoni. Niech $j$ oznacza liczbę jabłoni w sadzie.

Krok 2. Zapisujemy liczbę grusz. Grusz jest o 40% więcej niż jabłoni, czyli liczba grusz to $j+0,4j=1,4j$.

Krok 3. Wykorzystujemy drugi warunek. Jabłoni jest o 50 mniej niż grusz, czyli różnica między liczbą grusz i jabłoni to 50: $1,4j-j=50$, czyli $0,4j=50$.

Krok 4. Obliczamy $j$. $j=50:0,4=125$.

Odpowiedź: D.

Krok 1. Liczymy iloraz $\frac{10^8}{5^8}$. Gdy dzielimy dwie potęgi o tym samym wykładniku, możemy najpierw podzielić podstawy, a wynik podnieść do tego wykładnika: $\frac{10^8}{5^8}={\left(\frac{10}{5}\right)}^8=2^8$.

Odpowiedź do pierwszego zdania: B ($2^8$).

Krok 2. Liczymy iloczyn $2^6\cdot 25^3$. Zauważamy, że $25=5^2$, więc $25^3=(5^2{)}^3=5^{2\cdot 3}=5^6$. Wtedy $2^6\cdot 25^3=2^6\cdot 5^6$. Mnożymy dwie potęgi o tym samym wykładniku, więc możemy pomnożyć podstawy: $2^6\cdot 5^6=(2\cdot 5{)}^6=10^6$.

Odpowiedź do drugiego zdania: D ($10^6$).

Odpowiedź: B, D.

Krok 1. Rozbieramy pierwsze zdanie na etapy. „Liczbę $x$ powiększono o 7” — to daje $x+7$. „Otrzymany wynik zwiększono 4-krotnie” — mnożymy CAŁY ten wynik przez 4, więc musimy wziąć go w nawias: $4(x+7)$. To ważne — jeśli napiszemy $4x+7$, to pomnożymy przez 4 tylko $x$, a nie cały wcześniejszy wynik, co byłoby błędem.

Krok 2. Rozbieramy drugie zdanie na etapy. „Liczbę $y$ zwiększono 5-krotnie” — to daje $5y$. „Otrzymany wynik powiększono o 3” — dodajemy 3 do tego, co już mamy: $5y+3$.

Krok 3. Łączymy oba wyrażenia. Szukana para to $4(x+7)$ oraz $5y+3$.

Odpowiedź: A.

Krok 1. Przypominamy, z czego składają się wierzchołki ostrosłupa. Ostrosłup ma wierzchołki podstawy (tyle, ile kątów ma wielokąt-podstawa) i jeszcze jeden dodatkowy wierzchołek na szczycie (tam, gdzie schodzą się wszystkie ściany boczne).

Krok 2. Obliczamy, ile wierzchołków ma sama podstawa. Ostrosłup ma 16 wierzchołków, z czego jeden to szczyt, więc podstawa ma $16-1=15$ wierzchołków — to jest 15-kąt.

Krok 3. Liczymy wierzchołki graniastosłupa o takiej podstawie. Graniastosłup ma dwie takie podstawy (dolną i górną), połączone ścianami bocznymi — żadnego dodatkowego wierzchołka na szczycie nie ma. Liczba wierzchołków graniastosłupa to $2\times 15=30$.

Odpowiedź: B.

Krok 1. Co znaczy skala 1:4000. Skala 1:4000 mówi nam, że każdy 1 cm na planie odpowiada 4000 cm w rzeczywistości.

Krok 2. Przeliczamy odległość z planu na rzeczywistą, w centymetrach. Na planie odległość to 8 cm, więc w terenie to $8\times 4000=32000$ cm.

Krok 3. Zamieniamy centymetry na metry. $1$ m to $100$ cm, więc $32000$ cm $=32000:100=320$ m.

Odpowiedź: A.

Krok 1. Liczymy, ile jest wszystkich kul. W urnie jest $18+12=30$ kul.

Krok 2. Sprawdzamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej. Kul białych jest 18, więc prawdopodobieństwo to $\frac{18}{30}$. Skracamy przez 6: $\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$. Pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).

Krok 3. Sprawdzamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej. Kul czarnych jest 12, więc prawdopodobieństwo to $\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$. Porównujemy to z $\frac{1}{3}$ — sprowadzamy do wspólnego mianownika 15: $\frac{2}{5}=\frac{6}{15}$, a $\frac{1}{3}=\frac{5}{15}$. Skoro $\frac{6}{15}>\frac{5}{15}$, to $\frac{2}{5}$ jest WIĘKSZE od $\frac{1}{3}$, a nie mniejsze. Drugie zdanie jest fałszywe (F).

Odpowiedź: PF.

Krok 1. Ustalamy, jaki trójkąt tworzą punkty E, C, F. Punkt $E$ jest środkiem boku $BC$, a punkt $F$ jest środkiem boku $CD$. Kąt przy wierzchołku $C$ w prostokącie jest kątem prostym (90°), a odcinki $EC$ i $FC$ leżą na bokach prostokąta — więc trójkąt $ECF$ jest trójkątem prostokątnym z kątem prostym przy $C$, a $EF$ jest jego przeciwprostokątną.

Krok 2. Obliczamy długość odcinka $FC$ z twierdzenia Pitagorasa. W trójkącie prostokątnym $ECF$: $E{C}^2+F{C}^2=E{F}^2$, czyli $6^2+F{C}^2=10^2$, $36+F{C}^2=100$, $F{C}^2=64$, $FC=8$ cm.

Krok 3. Odtwarzamy pełne boki prostokąta. $E$ to środek $BC$, więc cały bok $BC=2\times EC=2\times 6=12$ cm. $F$ to środek $CD$, więc cały bok $CD=2\times FC=2\times 8=16$ cm.

Krok 4. Liczymy obwód prostokąta. W prostokącie $AB=CD=16$ cm i $BC=AD=12$ cm. Obwód: $2\times (16+12)=2\times 28=56$ cm.

Odpowiedź: B.

Krok 1. Znajdujemy regułę powtarzania wzoru. Wzór z rysunku powtarza się co 4 odcinki: odcinek nr 1 (i każdy o numerze $1,5,9,13,\dots$, czyli reszta 1 z dzielenia przez 4) to skos idący w prawo i w górę (jak znak „/”). Odcinek nr 3 (i każdy o numerze $3,7,11,\dots$, reszta 3 z dzielenia przez 4) to skos idący w prawo i w dół (jak znak „\”). Odcinki o numerach parzystych są poziome.

Krok 2. Sprawdzamy odcinki 1 i 7. Odcinek 1: $1:4$ daje resztę 1, więc to skos „/”. Odcinek 7: $7:4$ daje resztę 3, więc to skos „\”. Skos „/” i skos „\”, narysowane na jednakowej kratce (czyli pod kątem 45° w dwie różne strony), są zawsze wzajemnie prostopadłe — przecinają się pod kątem 90°. Pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).

Krok 3. Sprawdzamy odcinki 5 i 33. Odcinek 5: $5:4$ daje resztę 1, więc to skos „/”. Odcinek 33: $33:4=8$ reszty $1$ (bo $8\times 4=32$, $33-32=1$), więc to też skos „/”. Dwa odcinki tego samego typu skosu („/” i „/”) są narysowane pod tym samym kątem, czyli są do siebie równoległe. Drugie zdanie jest też prawdziwe (P).

Odpowiedź: PP.

Krok 1. Jaki bok musiałby mieć kwadrat $K$. Kwadrat $K$ ma pole $49{\text{cm}}^2$. Bok takiego kwadratu to liczba, która pomnożona przez samą siebie daje 49 — to jest 7, bo $7\times 7=49$. Czyli kwadrat $K$ ma bok 7 cm.

Krok 2. Sprawdzamy uzasadnienie 2 (pola). Suma pól: $F_1=5\times 5=25{\text{cm}}^2$, $F_2=3\times 3=9{\text{cm}}^2$, $F_3=3\times 5=15{\text{cm}}^2$. Suma: $25+9+15=49{\text{cm}}^2$ — to się zgadza z polem kwadratu $K$. Ale to, że pola się zgadzają, NIE oznacza jeszcze, że da się faktycznie ułożyć z tych figur kwadrat bez rozcinania — figury muszą też dokładnie do siebie przylegać swoimi bokami, a to sama zgodność pól nam nie gwarantuje.

Krok 3. Sprawdzamy, czy boki figur mogą dokładnie utworzyć bok długości 7 cm. Żeby ułożyć kwadrat o boku 7 cm z tych figur bez rozcinania, potrzebujemy, aby jakieś boki figur (albo pojedynczy bok, albo suma kilku boków ułożonych rzędem) dawały dokładnie 7 cm — inaczej figury nie będą się dokładnie stykać na krawędzi kwadratu $K$. Boki, jakie mamy do dyspozycji, to: 5 cm (bok $F_1$), 3 cm (bok $F_2$), oraz 3 cm i 5 cm (boki $F_3$). Sprawdzamy wszystkie możliwe sumy dwóch takich boków: $5+5=10$, $5+3=8$, $3+3=6$ — żadna z tych sum nie daje 7. Sam pojedynczy bok też nie jest równy 7 (mamy tylko 3 i 5). Skoro żadna kombinacja boków nie daje dokładnie 7 cm, te figury nie mogą się dokładnie zestawić w kwadrat o boku 7 cm bez rozcinania — zawsze zostanie „nadmiar” albo „niedomiar”.

Krok 4. Wybieramy odpowiedź. Odpowiedź to B (Nie), a uzasadnieniem jest punkt 3: suma długości dowolnych boków figur $F_1$, $F_2$, $F_3$ nie jest równa 7 cm — to właśnie ten fakt uniemożliwia dokładne ułożenie kwadratu.

Odpowiedź: B3.

Krok 1. Wykorzystujemy, że trójkąt $ACD$ jest równoboczny. W trójkącie równobocznym wszystkie boki są równe i wszystkie kąty mają po $60°$. Skoro $CD=DA$ (dane w treści) i trójkąt $ACD$ jest równoboczny, to również $AC=CD=DA$, a kąt $DCA=60°$.

Krok 2. Obliczamy kąt $ACB$. Kąt $BCD$ (cały kąt czworokąta przy wierzchołku $C$) ma miarę $131°$ i składa się z kąta $DCA$ (który już znamy, $60°$) i kąta $ACB$: $\angle DCA+\angle ACB=\angle BCD$, czyli $60°+\angle ACB=131°$, stąd $\angle ACB=71°$.

Krok 3. Sprawdzamy, że trójkąt $ABC$ jest równoramienny z $AB=AC$. Wiemy, że $AB=DA$ (z treści) oraz $AC=DA$ (z kroku 1, bo trójkąt $ACD$ jest równoboczny). Skoro obie te długości są równe temu samemu odcinkowi $DA$, to $AB=AC$ — trójkąt $ABC$ jest równoramienny, a kąty przy podstawie (czyli naprzeciwko ramion) są równe: kąt naprzeciwko $AC$ to $\angle ABC$, a kąt naprzeciwko $AB$ to $\angle ACB$. Skoro $AB=AC$, to $\angle ABC=\angle ACB=71°$.

Krok 4. Sprawdzamy pierwsze zdanie. Obliczyliśmy $\angle ABC=71°$, a nie $60°$ — pierwsze zdanie jest fałszywe (F).

Krok 5. Obliczamy kąt $BAC$ w trójkącie $ABC$. Suma kątów w trójkącie to $180°$: $\angle BAC=180°-71°-71°=38°$.

Krok 6. Obliczamy kąt $DAB$. Kąt $DAB$ (cały kąt czworokąta przy wierzchołku $A$) składa się z kąta $DAC$ (kąt trójkąta równobocznego, $60°$) i kąta $BAC$ (obliczonego w kroku 5, $38°$): $\angle DAB=60°+38°=98°$. Drugie zdanie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: FP.

Krok 1. Oznaczamy cenę biletu do teatru. Niech $x$ oznacza cenę jednego biletu do teatru (w złotych).

Krok 2. Zapisujemy cenę biletu do kina. Bilet do kina jest o 64 zł tańszy od biletu do teatru, więc jego cena to $x-64$.

Krok 3. Zapisujemy równanie na podstawie łącznego kosztu. Za 4 bilety do teatru i 5 biletów do kina zapłacono 400 zł, czyli: $4x+5(x-64)=400$

Krok 4. Rozwiązujemy równanie — usuwamy nawias. Mnożymy $5$ przez to, co jest w nawiasie: $5(x-64)=5x-320$. Równanie ma teraz postać: $4x+5x-320=400$

Krok 5. Porządkujemy wyrazy. Łączymy wyrazy z $x$: $4x+5x=9x$. Przenosimy $-320$ na drugą stronę (zmieniając znak na $+320$), żeby zostały same $x$-y po jednej stronie: $9x=400+320=720$

Krok 6. Liczymy $x$. Dzielimy obie strony przez 9, żeby zostało samo $x$: $x=720:9=80$.

Odpowiedź: Cena jednego biletu do teatru jest równa 80 zł.

Krok 1. Obliczamy prędkość pociągu. Prędkość liczymy ze wzoru: prędkość = droga : czas. Pociąg przejechał 700 m w czasie 50 s, więc jego prędkość to: $v=\frac{700\text{m}}{50\text{s}}=14\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Krok 2. Wykorzystujemy tę samą prędkość, żeby znaleźć drogę przejechaną w 15 sekund. Skoro prędkość jest stała (taka sama przez cały czas), droga = prędkość $\times$ czas: $s=14\frac{\text{m}}{\text{s}}\times 15\text{s}=210\text{m}$

Krok 3. Interpretujemy wynik. Z treści zadania wiemy, że w czasie 15 sekund pociąg przejechał drogę równą swojej własnej długości. Czyli ta droga (210 m) to właśnie długość pociągu.

Odpowiedź: Pociąg ma długość 210 m.

Krok 1. Zauważamy, że pole całego czworokąta to suma pól dwóch trójkątów. Przekątna $AC$ dzieli czworokąt $ABCD$ na trójkąty $ABC$ i $ACD$, więc: $P_{ABCD}=P_{ABC}+P_{ACD}$.

Krok 2. Obliczamy pole trójkąta $ACD$. Pole trójkąta liczymy ze wzoru: pole = $\frac{1}{2}\times$ podstawa $\times$ wysokość. Podstawą jest tu $AC=8$ cm, a wysokością — dana w treści wysokość z wierzchołka $D$, czyli 2 cm: $P_{ACD}=\frac{1}{2}\times 8\times 2=8{\text{cm}}^2$

Krok 3. Obliczamy pole trójkąta $ABC$. Z kroku 1 wiemy, że $P_{ABC}=P_{ABCD}-P_{ACD}$, czyli: $P_{ABC}=48-8=40{\text{cm}}^2$

Krok 4. Obliczamy szukaną wysokość, korzystając ze wzoru na pole trójkąta $ABC$. Trójkąt $ABC$ ma tę samą podstawę $AC=8$ cm, tylko inną wysokość — tę, którą mamy obliczyć, oznaczmy ją $h_B$: $P_{ABC}=\frac{1}{2}\times 8\times h_B=40$ $4\times h_B=40$ $h_B=40:4=10$

Odpowiedź: Wysokość trójkąta $ABC$ poprowadzona z wierzchołka $B$ jest równa 10 cm.

Krok 1. Oznaczamy niewiadome wymiary klocka. Niech $x$ oznacza szerokość klocka (krótszy z dwóch nieznanych boków podstawy klocka), a $y$ — jego długość (dłuższy bok podstawy). Wysokość klocka już znamy: to 5 cm.

Krok 2. Zapisujemy zależność z krótszej krawędzi figury (20,5 cm). Ta krawędź to jedna szerokość klocka plus jedna długość klocka: $x+y=20,5$

Krok 3. Zapisujemy zależność z dłuższej krawędzi figury (23 cm). Ta krawędź to dwie szerokości klocka plus jedna długość klocka: $2x+y=23$

Krok 4. Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego, żeby zostało samo $x$. Po lewej stronie $2x+y$ minus $x+y$ zostaje $x$, po prawej $23$ minus $20,5$ zostaje $2,5$: $x=23-20,5=2,5$

Krok 5. Obliczamy $y$. Wracamy do równania z kroku 2: $x+y=20,5$, więc $y=20,5-x=20,5-2,5=18$.

Krok 6. Obliczamy objętość jednego klocka. Klocek jest prostopadłościanem o wymiarach $5$ cm (wysokość), $2,5$ cm (szerokość) i $18$ cm (długość). Objętość prostopadłościanu to iloczyn jego trzech wymiarów: $V=5\times 2,5\times 18=225{\text{cm}}^3$

Odpowiedź: Objętość jednego klocka jest równa 225 cm³.