Matematyka — Maj 2026

Krok 1. Sprawdzamy, ile procent zajmują pozostałe działy. Z diagramu wiemy, że statystyka to 20%, algebra 25%, planimetria 15%, a stereometria 5%. Razem to $20+25+15+5=65\%$.

Krok 2. Liczymy procent arytmetyki. Wszystkie działy razem muszą dać 100%, więc arytmetyka to $100\%-65\%=35\%$.

Krok 3. Zamieniamy procent na liczbę zadań. Cały test ma 40 zadań, więc liczbę zadań z arytmetyki liczymy tak: $35\%$ z $40=0,35\times 40=14$.

Sprawdzenie inną metodą. Możemy też najpierw policzyć, ile zadań to 1%: $40:100=0,4$ zadania na każdy 1%. Wtedy 35% to $35\times 0,4=14$ zadań — wynik się zgadza.

Odpowiedź: A.

Krok 1. Liczymy $Y$. $Y$ to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $2$ i $4$. Wielokrotności $4$ to $4,8,12,\dots$, a $4$ jest też wielokrotnością $2$ (bo $4=2\cdot 2$). Najmniejsza taka liczba to $4$, więc $Y=4$.

Krok 2. Liczymy $X$. $X$ to największy wspólny dzielnik liczb $18$ i $27$. Dzielniki $18$: $1,2,3,6,9,18$. Dzielniki $27$: $1,3,9,27$. Największy wspólny to $9$, więc $X=9$.

Krok 3. Układamy kod. Kod to $YXXY$, czyli $4,9,9,4$ — kod to $4994$.

Sprawdzenie inną metodą. Rozkładamy liczby na czynniki: $18=2\cdot 3^2$, $27=3^3$ — wspólny czynnik to $3^2=9$, zgadza się. Dla $Y$: $4=2^2$, a $2$ dzieli $4$, więc najmniejsza wspólna wielokrotność to sama $4$ — też się zgadza.

Odpowiedź: B.

Krok 1. Liczymy $w$. $w=\sqrt{100-64}-2=\sqrt{36}-2=6-2=4$.

Krok 2. Liczymy $x$. $x=12-\sqrt{64+36}=12-\sqrt{100}=12-10=2$.

Krok 3. Liczymy $y$. $y=\sqrt{25-16}-3=\sqrt{9}-3=3-3=0$.

Krok 4. Liczymy $z$. $z=7-\sqrt{9+16}=7-\sqrt{25}=7-5=2$.

Krok 5. Sprawdzamy, która liczba jest równa $0$. Mamy $w=4$, $x=2$, $y=0$, $z=2$ — tylko $y$ wychodzi $0$.

Sprawdzenie inną metodą. Liczymy jeszcze raz krok po kroku, uważając na kolejność działań: pod każdym pierwiastkiem najpierw robimy dodawanie/odejmowanie, potem wyciągamy pierwiastek, a na końcu odejmujemy liczbę spoza pierwiastka. Dla $y$: $25-16=9$, $\sqrt{9}=3$, $3-3=0$ — wynik się powtarza.

Odpowiedź: C.

Krok 1. Grupujemy potęgi o tej samej podstawie. W wyrażeniu $2^5\cdot 3\cdot 3^4\cdot 2^3$ mamy potęgi liczby $2$: $2^5$ i $2^3$, oraz potęgi liczby $3$: $3$ (czyli $3^1$) i $3^4$.

Krok 2. Łączymy potęgi o tej samej podstawie (dodajemy wykładniki, bo mnożymy potęgi o tej samej podstawie). Dla $2$: $2^5\cdot 2^3=2^{5+3}=2^8$. Dla $3$: $3^1\cdot 3^4=3^{1+4}=3^5$.

Krok 3. Zapisujemy wynik. Całe wyrażenie to $2^8\cdot 3^5$.

Sprawdzenie inną metodą. Liczymy fragmenty osobno i sprawdzamy, że dają to samo: $2^5=32$, $2^3=8$, $32\cdot 8=256=2^8$ — zgadza się. $3\cdot 3^4=3\cdot 81=243=3^5$ — też się zgadza. Sprawdzamy też, że pozostałe opcje nie są równe: $4^8\cdot 9^5=(2^2{)}^8\cdot (3^2{)}^5=2^{16}\cdot 3^{10}$ — to inna liczba niż $2^8\cdot 3^5$.

Odpowiedź: A.

Krok 1. Zamieniamy zniżkę na to, ile procent ceny trzeba zapłacić. Jeśli jest zniżka $40\%$, to płacimy resztę, czyli $100\%-40\%=60\%$ ceny. Zniżka $20\%$ oznacza, że płacimy $100\%-20\%=80\%$ ceny.

Krok 2. Zapisujemy to jako część dziesiętną. $60\%$ to $0,6$, a $80\%$ to $0,8$.

Krok 3. Układamy wyrażenie. Kocur kosztuje $x$ złotych, Janek płaci za niego $0,6x$. Kotka kosztuje $y$ złotych, Janek płaci za nią $0,8y$. Razem zapłacił $0,6x+0,8y$.

Sprawdzenie inną metodą. Podstawiamy przykładowe liczby: niech $x=100$ zł, $y=100$ zł. Za kocura ze zniżką $40\%$ Janek płaci $100-40=60$ zł, czyli $0,6\cdot 100=60$ — zgadza się. Za kotkę ze zniżką $20\%$ płaci $100-20=80$ zł, czyli $0,8\cdot 100=80$ — też się zgadza.

Odpowiedź: D.

Krok 1. Co znaczy, że suma dowolnych dwóch liczb jest parzysta. Suma dwóch liczb jest parzysta tylko wtedy, gdy obie liczby są parzyste albo obie są nieparzyste (parzysta + nieparzysta zawsze daje liczbę nieparzystą). Skoro to działa dla KAŻDEJ pary liczb, które zostały w pudełku, to wszystkie liczby, które zostały, muszą mieć tę samą parzystość — albo same parzyste, albo same nieparzyste.

Krok 2. Sprawdzamy, ile jest liczb parzystych, a ile nieparzystych od $1$ do $11$. Liczby nieparzyste: $1,3,5,7,9,11$ — jest ich $6$. Liczby parzyste: $2,4,6,8,10$ — jest ich $5$.

Krok 3. Sprawdzamy, ile liczb zostało w pudełku. Wylosowano $5$ kul z $11$, więc w pudełku zostało $11-5=6$ kul.

Krok 4. Wybieramy właściwą grupę. Potrzebujemy $6$ liczb tej samej parzystości. Liczb parzystych jest tylko $5$ — nie da się z nich wybrać $6$. Liczb nieparzystych jest dokładnie $6$ — to się zgadza. Więc w pudełku zostały wszystkie liczby nieparzyste: $1,3,5,7,9,11$.

Odpowiedź do pierwszego zdania: A (nieparzystymi).

Krok 5. Liczymy sumę liczb, które zostały wylosowane. Wylosowane kule to te, które NIE zostały w pudełku, czyli wszystkie liczby parzyste: $2,4,6,8,10$. Suma: $2+4+6+8+10=30$.

Odpowiedź do drugiego zdania: C (30).

Sprawdzenie inną metodą. Suma wszystkich liczb od $1$ do $11$ to $\frac{11\cdot 12}{2}=66$. Suma liczb, które zostały w pudełku (nieparzystych): $1+3+5+7+9+11=36$. Suma wylosowanych: $66-36=30$ — wynik się zgadza.

Odpowiedź: A, C.

Krok 1. Liczymy, ile owoców jest w jednym koszu. Mamy $400$ owoców rozłożonych po równo do $10$ koszy, więc w każdym koszu jest $400:10=40$ owoców.

Krok 2. Opisujemy liczbę pomarańczy i jabłek w jednym koszu. Niech $p$ oznacza liczbę pomarańczy w jednym koszu. Jabłek jest o $6$ więcej, czyli $p+6$.

Krok 3. Układamy równanie. W jednym koszu jest razem $40$ owoców: $p+(p+6)=40$.

Krok 4. Rozwiązujemy równanie. $2p+6=40$, więc $2p=34$, czyli $p=17$. Pomarańczy jest $17$, a jabłek $17+6=23$ w jednym koszu.

Krok 5. Liczymy jabłka we wszystkich koszach. $23\times 10=230$.

Sprawdzenie inną metodą. Liczymy najpierw łączną liczbę pomarańczy we wszystkich koszach: $17\times 10=170$. Wszystkich owoców jest $400$, więc jabłek jest $400-170=230$ — wynik się zgadza.

Odpowiedź: B.

Krok 1. Liczymy sumę stu liczb ze wzoru. Podstawiamy $n=100$ do wzoru $S=\frac{1}{2}n(n+1)$: $S=\frac{1}{2}\cdot 100\cdot 101=\frac{1}{2}\cdot 10100=5050$.

Odpowiedź do pierwszego zdania: B (5050).

Krok 2. Przekształcamy wzór, żeby pozbyć się nawiasu. $S=\frac{1}{2}n(n+1)=\frac{1}{2}\cdot n\cdot n+\frac{1}{2}\cdot n\cdot 1=\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n$ (to zwykłe mnożenie sumy przez liczbę — każdy składnik nawiasu mnożymy osobno przez $\frac{1}{2}n$).

Odpowiedź do drugiego zdania: D ($S=\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n$).

Sprawdzenie inną metodą. Sprawdzamy przekształcony wzór na małym przykładzie, np. $n=4$: ze starego wzoru $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5=10$ (czyli $1+2+3+4=10$ — zgadza się). Z nowego wzoru: $\frac{1}{2}\cdot 16+\frac{1}{2}\cdot 4=8+2=10$ — też się zgadza, wzory są równoważne.

Odpowiedź: B, D.

Krok 1. Zamieniamy średnią na sumę. Średnia arytmetyczna $x$ i $y$ to $4$, czyli $\frac{x+y}{2}=4$, stąd $x+y=8$.

Krok 2. Robimy to samo dla trzech liczb. Średnia $x,y,z$ to $5$, czyli $\frac{x+y+z}{3}=5$, stąd $x+y+z=15$.

Krok 3. Liczymy $z$. Wiemy, że $x+y=8$, więc $z=15-(x+y)=15-8=7$.

Sprawdzenie inną metodą. Przyjmijmy przykładowo $x=3$, $y=5$ (żeby $x+y=8$). Wtedy $z=15-8=7$. Sprawdzamy średnią trzech liczb: $(3+5+7):3=15:3=5$ — zgadza się z treścią zadania.

Odpowiedź: D.

Krok 1. Przypominamy wzór na wysokość trójkąta równobocznego. W trójkącie równobocznym o boku $a$ wysokość jest równa $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (bo wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne, a z twierdzenia Pitagorasa wychodzi właśnie taki wzór).

Krok 2. Podstawiamy $a=2$. $h=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ cm. Pierwsze zdanie („wysokość jest równa $\sqrt{3}$ cm”) jest prawdziwe (P).

Krok 3. Liczymy pole trójkąta. Pole trójkąta to $\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}$ cm${}^2$. Drugie zdanie jest też prawdziwe (P).

Sprawdzenie inną metodą. Można też użyć gotowego wzoru na pole trójkąta równobocznego: $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$ — wynik się powtarza.

Odpowiedź: PP.

Krok 1. Przypominamy, że suma kątów w czworokącie to $360°$. Mamy $\alpha +\beta +\gamma +\delta =360°$.

Krok 2. Zapisujemy wszystkie kąty przez $\alpha$. $\beta =\alpha +70°$, $\gamma =2\alpha$, $\delta =90°$.

Krok 3. Wstawiamy do równania. $\alpha +(\alpha +70°)+2\alpha +90°=360°$, czyli $4\alpha +160°=360°$.

Krok 4. Rozwiązujemy. $4\alpha =200°$, więc $\alpha =50°$.

Krok 5. Liczymy $\beta$. $\beta =\alpha +70°=50°+70°=120°$.

Sprawdzenie inną metodą. Liczymy wszystkie kąty i sprawdzamy sumę: $\alpha =50°$, $\beta =120°$, $\gamma =2\cdot 50°=100°$, $\delta =90°$. Suma: $50+120+100+90=360°$ — zgadza się.

Odpowiedź: C.

Krok 1. Ustawiamy punkty w układzie współrzędnych. Przyjmujemy, że schronisko $S$ to punkt $(0,0)$, wschód to dodatnia strona osi x, a północ to dodatnia strona osi y.

Krok 2. Zapisujemy współrzędne muzeum. Muzeum jest $5$ km na wschód od schroniska, więc $M=(5,0)$.

Krok 3. Zapisujemy współrzędne wieży. Wieża jest $3$ km na północ i $4$ km na zachód od schroniska, czyli $4$ km w stronę ujemną x i $3$ km w stronę dodatnią y: $W=(-4,3)$.

Krok 4. Liczymy odległość $S$ od $M$. Punkty leżą na jednej osi (obydwa mają $y=0$), więc odległość to po prostu różnica x: $|5-0|=5$ km.

Krok 5. Liczymy odległość $S$ od $W$ z twierdzenia Pitagorasa. Odcinek $SW$ jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $4$ km (w kierunku zachód-wschód) i $3$ km (w kierunku północ-południe): $\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ km.

Krok 6. Sprawdzamy pierwsze zdanie. Odległość $S$–$M$ to $5$ km, odległość $S$–$W$ to też $5$ km — są równe. Pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).

Krok 7. Liczymy odległość $M$ od $W$. Różnica współrzędnych x: $5-(-4)=9$. Różnica współrzędnych y: $0-3=-3$. Z Pitagorasa: $\sqrt{9^2+(-3{)}^2}=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}$.

Krok 8. Sprawdzamy, czy to jest mniejsze od $10$ km. $\sqrt{90}$ jest mniejsze od $\sqrt{100}=10$ (bo $90<100$, a im większa liczba pod pierwiastkiem, tym większy pierwiastek). Więc odległość $M$–$W$ jest mniejsza od $10$ km. Drugie zdanie jest prawdziwe (P).

Sprawdzenie inną metodą. Liczymy $\sqrt{90}$ w przybliżeniu: $9^2=81$, $10^2=100$, więc $\sqrt{90}$ jest między $9$ i $10$, czyli w przybliżeniu $9,5$ km — na pewno mniej niż $10$ km. Wynik się zgadza.

Odpowiedź: PP.

Krok 1. Wykorzystujemy wzór na pole trójkąta. Pole trójkąta liczymy jako $\frac{1}{2}\cdot \text{podstawa}\cdot \text{wysokosˊcˊ}$. Tu podstawą trójkąta $ADE$ jest bok $AD$, a wysokość poprowadzona z wierzchołka $E$ na ten bok jest równa $7$.

Krok 2. Podstawiamy dane. $28=\frac{1}{2}\cdot |AD|\cdot 7$.

Krok 3. Rozwiązujemy równanie. $28=\frac{7}{2}|AD|$, więc $|AD|=28\cdot \frac{2}{7}=8$.

Krok 4. Wykorzystujemy, że $ABCD$ jest kwadratem. Bok $AD$ jest bokiem kwadratu $ABCD$, więc każdy bok kwadratu ma długość $8$.

Krok 5. Liczymy pole kwadratu. $P=8^2=64$.

Sprawdzenie inną metodą. Sprawdzamy podstawiając z powrotem: jeśli $|AD|=8$, to pole trójkąta $ADE$ powinno wynosić $\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 7=28$ — zgadza się z treścią zadania.

Odpowiedź: D.

Krok 1. Ustalamy wymiary prostopadłościanu. Trzy sześciany o krawędzi $5$ postawiono jeden na drugim, więc powstał prostopadłościan o podstawie $5\times 5$ i wysokości $5+5+5=15$.

Krok 2. Przypominamy wzór na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu. Prostopadłościan ma $3$ pary jednakowych ścian (górę i dół, przód i tył, lewą i prawą stronę), więc $P=2(ab+bc+ac)$, gdzie $a,b,c$ to długości krawędzi.

Krok 3. Podstawiamy $a=5$, $b=5$, $c=15$. $ab=5\cdot 5=25$. $bc=5\cdot 15=75$. $ac=5\cdot 15=75$. Suma: $25+75+75=175$.

Krok 4. Mnożymy przez $2$. $P=2\cdot 175=350$.

Sprawdzenie inną metodą. Liczymy pola poszczególnych par ścian osobno i dodajemy: dwie ściany podstawy ($5\times 5=25$ każda) to $2\times 25=50$. Cztery ściany boczne (każda $5\times 15=75$) to $4\times 75=300$. Razem: $50+300=350$ — wynik się zgadza.

Odpowiedź: A.

Krok 1. Oznaczamy niewiadomą. Nie znamy liczby kartek czerwonych, więc nazwiemy ją $x$. Wszystkie inne kolory łatwo zapisać właśnie przez liczbę czerwonych kartek — dlatego to jest dobry punkt wyjścia.

Krok 2. Zapisujemy pozostałe kolory za pomocą $x$. Niebieskich było $1,5$ raza więcej niż czerwonych, czyli $1,5x$. Zielonych było o $10$ mniej niż czerwonych, czyli $x-10$. Białych było $37$ — to liczba podana w treści, nie trzeba jej niczym zapisywać.

Krok 3. Układamy równanie. Wiemy, że wszystkich kartek było razem $160$, więc dodajemy do siebie liczby kartek każdego koloru i porównujemy z $160$: $x+1,5x+(x-10)+37=160$.

Krok 4. Porządkujemy lewą stronę. Łączymy wyrazy z $x$: $x+1,5x+x=3,5x$. Łączymy liczby: $-10+37=27$. Równanie wygląda teraz tak: $3,5x+27=160$.

Krok 5. Rozwiązujemy równanie. Odejmujemy $27$ od obu stron, żeby zostawić samo $3,5x$: $3,5x=160-27=133$. Teraz dzielimy obie strony przez $3,5$, żeby zostało samo $x$: $x=133:3,5=38$. Czyli kartek czerwonych było $38$.

Krok 6. Liczymy kartki niebieskie. Niebieskich było $1,5$ raza więcej niż czerwonych, czyli $1,5\cdot 38=57$.

Sprawdzenie. Sprawdźmy, czy wszystko się zgadza: czerwone $38$, niebieskie $57$, zielone $38-10=28$, białe $37$. Suma: $38+57+28+37=160$ — dokładnie tyle, ile było w treści zadania. Wynik jest poprawny.

Odpowiedź: Ela przygotowała $57$ kartek niebieskich.

Krok 1. Liczymy długość drogi z Jodłowa do Dębiny. Cała droga z Polanki do Dębiny (przez Jodłowo) ma $123$ km, a odcinek z Polanki do Jodłowa ma $48$ km. Odcinek z Jodłowa do Dębiny to reszta: $123-48=75$ km.

Krok 2. Liczymy prędkość samochodu na pierwszym odcinku. Samochód przejechał $48$ km w $40$ minut. Żeby łatwo porównać to z godziną, zamieniamy $40$ minut na godziny: $40$ minut to $\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$ godziny. Prędkość liczymy jako drogę podzieloną przez czas: $v=48:\frac{2}{3}=48\cdot \frac{3}{2}=72\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

Krok 3. Sprawdzamy, ile samochód przejechałby w ciągu jednej godziny z taką prędkością. Skoro jedzie $72$ km na godzinę, to w ciągu $1$ godziny przejechałby właśnie $72$ km.

Krok 4. Porównujemy z drogą z Jodłowa do Dębiny. Ta droga ma $75$ km, a w ciągu $1$ godziny samochód przejeżdża tylko $72$ km — czyli $75$ km to więcej, niż samochód zdąży przejechać w godzinę. Skoro musi przejechać więcej kilometrów niż w ciągu godziny, to przejazd musi trwać dłużej niż godzinę.

Sprawdzenie inną metodą. Policzmy dokładny czas przejazdu $75$ km z prędkością $72\frac{\text{km}}{\text{h}}$: $t=75:72\approx 1,04$ godziny, czyli około $62,5$ minuty (bo $0,04\cdot 60\approx 2,5$ minuty więcej niż godzina). To jest więcej niż $60$ minut — wynik potwierdza się drugą metodą.

Odpowiedź: Samochód jechał z prędkością $72\frac{\text{km}}{\text{h}}$, a w ciągu godziny przejechałby $72$ km. Droga z Jodłowa do Dębiny ma $75$ km, czyli więcej niż $72$ km, więc przejazd musiał trwać dłużej niż godzinę.

Krok 1. Liczymy, ile było wszystkich chłopców. Z tabeli odczytujemy liczby chłopców w każdym turnieju i dodajemy: $46+16+34=96$.

Krok 2. Liczymy, ile było wszystkich dziewczynek. Wiemy, że dziewczynek było o $8$ więcej niż chłopców: $96+8=104$.

Krok 3. Liczymy, ile było wszystkich uczestników Dnia Sportu. Dodajemy chłopców i dziewczynki: $96+104=200$.

Krok 4. Liczymy, ile dziewczynek brało udział w tenisie stołowym. Znamy już wszystkie dziewczynki ($104$) oraz dziewczynki z dwóch innych turniejów ($15$ i $65$). Reszta musiała być w tenisie stołowym: $104-15-65=24$.

Krok 5. Liczymy, ile w sumie dzieci było w tenisie stołowym. Dodajemy chłopców i dziewczynki z tego turnieju: $34+24=58$.

Krok 6. Liczymy, jaki to procent wszystkich uczestników. Wszystkich uczestników było $200$, a w tenisie stołowym $58$. Dzielimy i zamieniamy na procent: $\frac{58}{200}=0,29=29\%$.

Sprawdzenie inną metodą. Możemy najpierw policzyć, ile dzieci przypada na $1\%$: $200:100=2$ dzieci na każdy $1\%$. Wtedy $58$ dzieci to $58:2=29\%$ — wynik się zgadza.

Odpowiedź: Dzieci, które brały udział w turnieju tenisa stołowego, stanowią $29\%$ liczby wszystkich uczestników Dnia Sportu.

Krok 1. Zapisujemy objętość sześcianu. Sześcian ma krawędź długości $a$, więc jego objętość to $V_{\text{szesˊcianu}}=a^3$.

Krok 2. Wyznaczamy pole podstawy ostrosłupa — trójkąta $ACD$. Trójkąt $ACD$ powstaje z przekątnej $AC$ kwadratu $ABCD$ (dolnej podstawy sześcianu) — dzieli ten kwadrat na dwa równe trójkąty, a $ACD$ jest jednym z nich. Skoro trójkąt to połowa kwadratu, jego pole to połowa pola kwadratu: $P_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a=\frac{1}{2}{a}^2$.

Krok 3. Wyznaczamy wysokość ostrosłupa. Wysokością ostrosłupa $ACDS$ (mierzoną od wierzchołka $S$ do płaszczyzny podstawy $ACD$, czyli do dolnej podstawy sześcianu) jest odcinek $DS$. Punkt $S$ to środek krawędzi $DH$, a krawędź $DH$ ma długość $a$ i jest prostopadła do podstawy — więc $|DS|=\frac{1}{2}a$.

Krok 4. Liczymy objętość ostrosłupa. Objętość ostrosłupa to $\frac{1}{3}$ razy pole podstawy razy wysokość: $V_{ACDS}=\frac{1}{3}\cdot P_{ACD}\cdot |DS|=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{a}^2\cdot \frac{1}{2}a=\frac{1}{12}{a}^3$.

Krok 5. Porównujemy obie objętości. Sześcian ma objętość $a^3$, a ostrosłup $\frac{1}{12}{a}^3$. Dzielimy jedną przez drugą, żeby sprawdzić, ile razy sześcian jest większy: $a^3:\frac{1}{12}{a}^3=12$.

Sprawdzenie inną metodą. Podstawiamy konkretną liczbę, np. $a=2$. Sześcian: $V=2^3=8$. Trójkąt $ACD$: $P=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$, wysokość $|DS|=1$, więc $V_{ACDS}=\frac{1}{3}\cdot 2\cdot 1=\frac{2}{3}$. Sprawdzamy: $8:\frac{2}{3}=8\cdot \frac{3}{2}=12$ — wynik się powtarza.

Odpowiedź: Objętość ostrosłupa $ACDS$ jest $12$ razy mniejsza od objętości sześcianu $ABCDEFGH$.

Krok 1. Liczymy pole ogródka. Ogródek ma kształt trapezu, więc korzystamy ze wzoru na pole trapezu: pole to suma podstaw razy wysokość, podzielone na $2$. Podstawy mają $18$ m i $12$ m, wysokość $9$ m: $P=\frac{(18+12)}{2}\cdot 9=\frac{30}{2}\cdot 9=15\cdot 9=135$ m${}^2$.

Krok 2. Liczymy, ile opakowań potrzeba. Jedno opakowanie wystarcza na $25$ m${}^2$, a ogródek ma $135$ m${}^2$. Dzielimy: $135:25=5,4$.

Krok 3. Zaokrąglamy liczbę opakowań w górę. Opakowań nie można kupić w częściach — musi być liczba całkowita, a przy tym musi wystarczyć na całą powierzchnię. $5$ opakowań wystarczyłoby tylko na $5\cdot 25=125$ m${}^2$ — to mniej niż $135$ m${}^2$, więc to za mało. $6$ opakowań to $6\cdot 25=150$ m${}^2$ — to już wystarcza. Potrzeba więc $6$ opakowań.

Krok 4. Liczymy koszt. Jedno opakowanie kosztuje $23,80$ zł, a potrzeba $6$ opakowań: $6\cdot 23,80=142,80$ zł.

Sprawdzenie inną metodą. Sprawdzamy zaokrąglenie inaczej: $135:25=5,4$, a każda niecałkowita liczba opakowań (tu $5,4$) zawsze zaokrąglamy w górę do najbliższej liczby całkowitej, czyli do $6$ — to samo, co wyszło w kroku 3.

Odpowiedź: Pani Anna musi zapłacić za opakowania z nasionami $142,80$ zł.

Krok 1. Co się stało z prostokątem. Prostokąt $ABCD$ miał boki $9$ i $3$. Rozcięto go na trapez prostokątny i trójkąt prostokątny równoramienny, którego dwie równe przyprostokątne (krótsze boki przy kącie prostym) mają długość $3$ każda. Ten trójkąt przesunięto na drugą stronę figury — dzięki temu powstał równoległobok $KLMN$.

Krok 2. Liczymy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta. Trójkąt jest prostokątny, a jego przyprostokątne mają długość $3$ i $3$. Z twierdzenia Pitagorasa: przeciwprostokątna do kwadratu to suma kwadratów przyprostokątnych: $c^2=3^2+3^2=9+9=18$. Stąd $c=\sqrt{18}$. Możemy to jeszcze uprościć: $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$.

Krok 3. Ustalamy, które boki ma równoległobok. Kiedy trójkąt zostaje przesunięty na drugą stronę figury, jego przeciwprostokątna (czyli $3\sqrt{2}$) staje się nowym, ukośnym bokiem równoległoboku — i to po obu stronach ($KN$ i $LM$), bo równoległobok ma naprzeciwległe boki równe. Boki poziome ($KL$ i $NM$) zachowują długość dłuższego boku wyjściowego prostokąta, czyli $9$ — bo przesunięcie trójkąta nie zmienia całkowitej „szerokości” figury liczonej wzdłuż tych brzegów.

Krok 4. Liczymy obwód. Równoległobok ma dwa boki długości $9$ i dwa boki długości $3\sqrt{2}$: $O=2\cdot 9+2\cdot 3\sqrt{2}=18+6\sqrt{2}$.

Sprawdzenie inną metodą. Sprawdzamy wynik liczbowo: $\sqrt{2}\approx 1,41$, więc $6\sqrt{2}\approx 8,49$, a cały obwód to około $18+8,49\approx 26,49$. To sensowna wartość — trochę większa niż obwód wyjściowego prostokąta ($2\cdot 9+2\cdot 3=24$), co ma sens, bo ukośny bok ($3\sqrt{2}\approx 4,24$) jest dłuższy niż prosty bok ($3$), z którego powstał.

Odpowiedź: Obwód równoległoboku $KLMN$ jest równy $18+6\sqrt{2}$.