Matematyka — Maj 2025

Krok 1. Odczytujemy kwoty z diagramu. Z wykresu widzimy, że Aldona odłożyła: w styczniu 50 zł, w lutym 40 zł, w marcu 60 zł, w kwietniu 30 zł.

Krok 2. Liczymy, jaki procent ceny to styczeń i luty razem. Deskorolka kosztuje 180 zł. Styczeń i luty razem to $50+40=90$ zł. Sprawdzamy, jaki procent z 180 zł to 90 zł: $90:180=0,5=50\%$. Odpowiedź do pierwszego zdania: B (50%).

Krok 3. Liczymy, o ile procent więcej odłożono w marcu niż w styczniu. W marcu odłożono 60 zł, w styczniu 50 zł. Różnica to $60-50=10$ zł. Pytanie brzmi: o ile procent WIĘCEJ jest 60 zł od 50 zł — porównanie robimy względem kwoty ze stycznia, bo to punkt odniesienia: $10:50=0,2=20\%$. Odpowiedź do drugiego zdania: D (20%).

Odpowiedź: B, D.

Krok 1. Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek. $5\frac{1}{3}=\frac{16}{3}$.

Krok 2. Odejmujemy w nawiasie. Zamieniamy $2,4$ na ułamek: $2,4=\frac{12}{5}$. Żeby odjąć $\frac{12}{5}-\frac{16}{3}$, sprowadzamy do wspólnego mianownika 15: $\frac{12}{5}=\frac{36}{15}$, $\frac{16}{3}=\frac{80}{15}$. Więc $\frac{36}{15}-\frac{80}{15}=-\frac{44}{15}$.

Krok 3. Dzielimy przez $-2$. Minus podzielony przez minus daje plus: $-\frac{44}{15}:(-2)=\frac{44}{30}=\frac{22}{15}$.

Krok 4. Zamieniamy na liczbę mieszaną. $\frac{22}{15}=1\frac{7}{15}$, bo $22=15+7$.

Odpowiedź: C.

Krok 1. Co znaczy „reszta 1 z dzielenia przez 7”. Szukamy liczby, która jest o 1 większa od jakiejś wielokrotności liczby 7.

Krok 2. Znajdujemy bliską wielokrotność 7. $7\times 13=91$, więc 91 dzieli się przez 7 bez reszty (reszta 0).

Krok 3. Sprawdzamy pozostałe liczby, licząc od 91. $92=91+1$ — reszta 1. $95=91+4$ — reszta 4. $97=91+6$ — reszta 6.

Odpowiedź: B (92).

Krok 1. Liczymy sumę $a,b,c,d$. Średnia czterech liczb to 9, więc ich suma jest $4\times 9=36$.

Krok 2. Liczymy sumę $e,f$. Średnia dwóch liczb to 6, więc ich suma jest $2\times 6=12$.

Krok 3. Porównujemy obie sumy. $36-12=24$. Suma $a,b,c,d$ jest o 24 większa od sumy $e,f$. Odpowiedź do pierwszego zdania: B (24).

Krok 4. Liczymy średnią wszystkich sześciu liczb. Suma wszystkich sześciu liczb to $36+12=48$. Jest ich 6, więc średnia to $48:6=8$. Odpowiedź do drugiego zdania: C (8).

Odpowiedź: B, C.

Krok 1. Co mamy zrobić. Mamy wzór $L=2a+2b+c$ i chcemy przekształcić go tak, żeby po jednej stronie zostało samo $a$.

Krok 2. Usuwamy ze strony z $a$ to, co do niego nie należy. Od obu stron odejmujemy $2b$ i $c$ (składniki, które nie zawierają $a$): $L-2b-c=2a$.

Krok 3. Dzielimy obie strony przez 2, bo mamy $2a$, a chcemy samo $a$: $a=\frac{L-2b-c}{2}$.

Odpowiedź: A.

Krok 1. Zapisujemy liczbę piłek białych. Fioletowych jest $x$. Białych jest 4 razy więcej, czyli $4x$.

Krok 2. Zapisujemy liczbę piłek czarnych. Białych jest o 3 MNIEJ niż czarnych — to samo można powiedzieć inaczej: czarnych jest o 3 WIĘCEJ niż białych. Czarnych: $4x+3$.

Krok 3. Liczymy wszystkie piłki razem. Fioletowe + białe + czarne: $x+4x+(4x+3)=9x+3$.

Odpowiedź: A.

Krok 1. Liczymy wartość $K$. $\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$ oraz $\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$. Więc $K=\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{4}-\frac{1}{16}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{36}-\frac{1}{48}$. Sprowadzamy do wspólnego mianownika 144: $\frac{1}{36}=\frac{4}{144}$, $\frac{1}{48}=\frac{3}{144}$, więc $K=\frac{4}{144}-\frac{3}{144}=\frac{1}{144}$.

Krok 2. Sprawdzamy pierwsze zdanie. $K=\frac{1}{144}$ jest liczbą dodatnią (większą od zera), więc zdanie „$K$ ma wartość ujemną” jest fałszywe (F).

Krok 3. Liczymy wartość $L$. $\sqrt{16}=4$, $\sqrt{9}=3$. $L=9\cdot 4-16\cdot 3=36-48=-12$.

Krok 4. Sprawdzamy drugie zdanie. $L=-12$ jest liczbą ujemną, a $K=\frac{1}{144}$ jest liczbą dodatnią. Liczba ujemna jest zawsze mniejsza od liczby dodatniej, więc $L$ NIE jest większe od $K$ — zdanie jest fałszywe (F).

Odpowiedź: FF.

Krok 1. Zamieniamy podstawy na potęgi liczby 2. $8=2^3$, więc $8^6=(2^3{)}^6=2^{18}$. $4=2^2$, więc $4^3=(2^2{)}^3=2^6$.

Krok 2. Dzielimy potęgi o tej samej podstawie. Gdy dzielimy potęgi o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki: $2^{18}:2^6=2^{18-6}=2^{12}$.

Odpowiedź: D.

Krok 1. Przypominamy wzór na czas. Czas $=$ droga $:$ prędkość.

Krok 2. Podstawiamy dane. Droga to 100 m, prędkość to 5 m/s — to znaczy, że rowerzysta w każdej sekundzie przejeżdża 5 metrów. Czas $=100:5=20$ sekund.

Odpowiedź: B.

Krok 1. Liczymy losy wygrywające. Numery od 1 do 9: to 9 losów. Numery od 46 do 72: to $72-46+1=27$ losów. Razem wygrywających: $9+27=36$.

Krok 2. Liczymy losy puste. Wszystkich losów jest 72, wygrywających jest 36, więc pustych jest $72-36=36$.

Krok 3. Liczymy prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo to liczba losów pustych podzielona przez liczbę wszystkich losów: $\frac{36}{72}$.

Odpowiedź: D.

Krok 1. Ustalamy, gdzie jest kąt prosty. Trójkąt $ABC$ jest prostokątny przy wierzchołku $B$, czyli bok $BC$ jest prostopadły do boku $AB$. Punkt $D$ leży na $AB$, więc kąt trójkąta $DBC$ przy wierzchołku $B$ jest tym samym kątem prostym.

Krok 2. Liczymy bok $BC$ z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $DBC$. Przeciwprostokątną tego trójkąta jest $DC=50$ cm, a jedną z przyprostokątnych $DB=30$ cm: $|BC{|}^2=|DC{|}^2-|DB{|}^2=50^2-30^2=2500-900=1600$, więc $|BC|=\sqrt{1600}=40$ cm.

Krok 3. Liczymy pole trójkąta $DBC$. $P_{DBC}=\frac{1}{2}\cdot |DB|\cdot |BC|=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 40=600$ cm${}^2$. Pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).

Krok 4. Liczymy pole trójkąta $ABC$. $|AB|=|AD|+|DB|=30+30=60$ cm. $P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot |BC|=\frac{1}{2}\cdot 60\cdot 40=1200$ cm${}^2$.

Krok 5. Liczymy pole trójkąta $ADC$ i porównujemy. Trójkąty $ADC$ i $DBC$ mają takie same podstawy ($|AD|=|DB|=30$ cm) i tę samą wysokość (odległość punktu $C$ od prostej $AB$), więc mają równe pola: $P_{ADC}=P_{DBC}=600$ cm${}^2$. Stosunek pól: $P_{ABC}:P_{ADC}=1200:600=2$ — pole $ABC$ jest dwa razy większe od pola $ADC$. Drugie zdanie jest też prawdziwe (P).

Odpowiedź: PP.

Krok 1. Liczymy, ile wynosi jedna część podziału. Od pierwszej kreski (56) do czwartej kreski (83) mamy 3 równe odcinki. Różnica: $83-56=27$. Jedna część to $27:3=9$.

Krok 2. Liczymy współrzędną punktu $C$. $C$ jest szóstą kreską, czyli dwie kreski dalej niż czwarta (83): $83+9+9=101$.

Krok 3. Sprawdzamy, czy 101 jest liczbą parzystą. Liczba parzysta dzieli się przez 2 bez reszty. Liczba $101$ kończy się na 1, więc jest nieparzysta. Pierwsze zdanie jest fałszywe (F).

Krok 4. Sprawdzamy drugie zdanie. Druga kreska podziału ma współrzędną $56+9=65$, a trzecia kreska ma współrzędną $65+9=74$. Punkt $B$ leży między tymi kreskami, czyli jego współrzędna jest liczbą pomiędzy 65 a 74 — a każda taka liczba jest mniejsza od 74. Drugie zdanie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: FP.

Krok 1. Ustalamy bok kwadratu $AEGD$. Kwadrat ma wszystkie boki równe, a jego bok $GE$ jest jednocześnie bokiem trójkąta $EFG$, długości 6. Czyli $|AD|=|DG|=|GE|=|EA|=6$.

Krok 2. Ustalamy bok rombu $FBCG$. Romb ma wszystkie boki równe, a jego bok $GF$ jest jednocześnie bokiem trójkąta $EFG$, długości 10. Czyli $|FB|=|BC|=|CG|=|GF|=10$.

Krok 3. Liczymy boki trapezu. $|AD|=6$. $|BC|=10$. $|AB|=|AE|+|EF|+|FB|=6+8+10=24$ (bo $E$ i $F$ leżą na $AB$). $|DC|=|DG|+|GC|=6+10=16$ (bo $G$ leży na $DC$).

Krok 4. Liczymy obwód. $|AB|+|BC|+|CD|+|DA|=24+10+16+6=56$.

Odpowiedź: A.

Krok 1. Korzystamy z własności przekątnych równoległoboku. W każdym równoległoboku przekątne przecinają się w swoim środku — środek przekątnej $AC$ to ten sam punkt, co środek przekątnej $BD$.

Krok 2. Liczymy środek przekątnej $AC$. $A=(-3,-2)$, $C=(4,2)$. Środek: $\left(\frac{-3+4}{2},\frac{-2+2}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},0\right)$.

Krok 3. Wykorzystujemy, że to też środek $BD$. $D=(-1,2)$. Środek odcinka $BD$ to $\left(\frac{x_B-1}{2},\frac{y_B+2}{2}\right)$, a to musi być równe $\left(\frac{1}{2},0\right)$. Z pierwszej współrzędnej: $x_B-1=1$, więc $x_B=2$. Z drugiej współrzędnej: $y_B+2=0$, więc $y_B=-2$.

Krok 4. Sprawdzamy warunek zadania. $x_B=2$ jest liczbą dodatnią, zgodnie z treścią zadania. Czyli $B=(2,-2)$.

Odpowiedź: C.

Krok 1. Przypominamy wzór na pole powierzchni prostopadłościanu. Prostopadłościan ma trzy pary jednakowych, prostokątnych ścian o wymiarach $a\times b$, $b\times c$ i $a\times c$, gdzie $a,b,c$ to długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka. Pole powierzchni całkowitej: $P=2(ab+bc+ca)$.

Krok 2. Podstawiamy dane. $a=5$, $b=6$, $c=7$. $ab=5\times 6=30$, $bc=6\times 7=42$, $ca=7\times 5=35$.

Krok 3. Liczymy sumę i mnożymy przez 2. $30+42+35=107$. $P=2\times 107=214$.

Odpowiedź: D.

Krok 1. Zapisujemy, co wiemy. Suma trzech ułamków ma być równa $\frac{7}{15}$. Dwa z nich znamy: $\frac{1}{5}$ i $\frac{1}{6}$. Trzeci nazwiemy $x$.

Krok 2. Zapisujemy równanie. $\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+x=\frac{7}{15}$.

Krok 3. Liczymy, ile to $\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$. Wspólny mianownik dla 5 i 6 to 30: $\frac{1}{5}=\frac{6}{30}$, $\frac{1}{6}=\frac{5}{30}$. Razem: $\frac{6}{30}+\frac{5}{30}=\frac{11}{30}$.

Krok 4. Wyliczamy $x$. Zamieniamy $\frac{7}{15}$ na mianownik 30: $\frac{7}{15}=\frac{14}{30}$. Więc $x=\frac{14}{30}-\frac{11}{30}=\frac{3}{30}$.

Krok 5. Skracamy wynik. $\frac{3}{30}=\frac{1}{10}$ (dzielimy licznik i mianownik przez 3).

Krok 6. Sprawdzamy warunek zadania. Otrzymany ułamek $\frac{1}{10}$ ma licznik równy 1, a mianownik 10 jest liczbą całkowitą dodatnią — to właśnie mieliśmy uzasadnić.

Odpowiedź: Trzeci składnik sumy jest równy $\frac{1}{10}$ — jest to ułamek o liczniku 1 i mianowniku będącym liczbą całkowitą dodatnią, co należało uzasadnić.

Krok 1. Oznaczamy liczbę plakatów Basi. Niech $b$ oznacza liczbę plakatów Basi.

Krok 2. Zapisujemy liczbę plakatów Andrzeja i Marka za pomocą $b$. Andrzej ma o 28 więcej niż Basia: $b+28$. Marek ma 3 razy mniej niż Basia: $\frac{b}{3}$.

Krok 3. Zapisujemy warunek o Andrzeju i Marku razem. Andrzej i Marek razem mają 2 razy więcej plakatów niż Basia: $\left(b+28\right)+\frac{b}{3}=2b$.

Krok 4. Rozwiązujemy równanie. Przenosimy $b$ i $\frac{b}{3}$ na jedną stronę: $28=2b-b-\frac{b}{3}=b-\frac{b}{3}=\frac{3b-b}{3}=\frac{2b}{3}$. Czyli $\frac{2b}{3}=28$, więc $b=28\cdot \frac{3}{2}=42$.

Krok 5. Liczymy plakaty Marka i Andrzeja. Marek: $\frac{b}{3}=\frac{42}{3}=14$. Andrzej: $b+28=42+28=70$.

Krok 6. Sprawdzamy wynik. Andrzej i Marek razem: $70+14=84$. Dwa razy więcej niż Basia: $2\times 42=84$ — zgadza się.

Odpowiedź: Basia ma 42 plakaty, Marek ma 14 plakatów, a Andrzej ma 70 plakatów.

Krok 1. Liczymy kąt $BCD$ trapezu. Boki $AB$ i $DC$ trapezu $ABCD$ są równoległe (bo $AECD$ jest równoległobokiem, więc $AE\parallel DC$, a $E$ leży na $AB$). Kąty $ABC$ i $BCD$ leżą przy tym samym ramieniu $BC$, między dwiema równoległymi bokami — takie kąty sumują się do $180°$. Czyli $|\angle BCD|=180°-|\angle ABC|=180°-48°=132°$.

Krok 2. Liczymy kąt $ECD$ równoległoboku $AECD$. Odcinek $EC$ dzieli kąt $BCD$ na dwie części: $\angle BCE$ i $\angle ECD$. Czyli $|\angle ECD|=|\angle BCD|-|\angle BCE|=132°-57°=75°$.

Krok 3. Przenosimy ten kąt na wierzchołek $A$. W równoległoboku $AECD$ kąty przy przeciwległych wierzchołkach są równe. Wierzchołki $A$ i $C$ są przeciwległe, więc kąt $DAE$ (czyli $DAB$, bo $E$ leży na $AB$) jest równy kątowi $ECD$: $|\angle DAB|=75°$.

Krok 4. Liczymy ostatni kąt trapezu. Kąty $DAB$ i $CDA$ leżą przy ramieniu $AD$, między równoległymi bokami $AB$ i $DC$ — sumują się do $180°$: $|\angle CDA|=180°-75°=105°$.

Krok 5. Sprawdzamy wynik. Suma kątów czworokąta $ABCD$: $75°+48°+132°+105°=360°$ — zgadza się, bo suma kątów każdego czworokąta wynosi $360°$.

Odpowiedź: $|\angle DAB|=75°$, $|\angle BCD|=132°$, $|\angle CDA|=105°$.

Krok 1. Liczymy rzeczywisty bok małej tablicy. Skala 1:20 oznacza, że każdy 1 cm na rysunku to 20 cm w rzeczywistości. Rzeczywisty bok małej tablicy: $3\times 20=60$ cm.

Krok 2. Liczymy pole małej tablicy. Mała tablica jest kwadratem: $P_{mała}=60\times 60=3600$ cm${}^2$.

Krok 3. Liczymy pole dużej tablicy. Duża tablica ma wymiary 240 cm i 90 cm: $P_{du\dot{z}a}=240\times 90=21600$ cm${}^2$.

Krok 4. Liczymy, ile razy większe jest pole dużej tablicy. $P_{du\dot{z}a}:P_{mała}=21600:3600=6$.

Odpowiedź: Pole dużej tablicy jest 6 razy większe od pola małej tablicy.

Krok 1. Ustalamy długości potrzebnych odcinków. Bok kwadratu to 15 cm. Boki $AB$ i $CD$ są podzielone na 3 równe części, więc każda część ma $15:3=5$ cm. Boki $AD$ i $BC$ są podzielone na 5 równych części, więc każda część ma $15:5=3$ cm.

Punkt $E$ leży na boku $BC$ w odległości 2 takich części od $B$: $|BE|=2\times 3=6$ cm.

Punkt $F$ leży na boku $CD$ w odległości 2 takich części od $D$: $|DF|=2\times 5=10$ cm.

Krok 2. Wybieramy sposób liczenia. Czworokąt $AECF$ to cały kwadrat bez dwóch narożnych trójkątów: trójkąta $ABE$ (w rogu przy $B$) i trójkąta $ADF$ (w rogu przy $D$).

Krok 3. Liczymy pole trójkąta $ABE$. To trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $|AB|=15$ cm i $|BE|=6$ cm: $P_{ABE}=\frac{1}{2}\times 15\times 6=45$ cm${}^2$.

Krok 4. Liczymy pole trójkąta $ADF$. To trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $|AD|=15$ cm i $|DF|=10$ cm: $P_{ADF}=\frac{1}{2}\times 15\times 10=75$ cm${}^2$.

Krok 5. Liczymy pole całego kwadratu. $P_{ABCD}=15\times 15=225$ cm${}^2$.

Krok 6. Odejmujemy niepotrzebne trójkąty. $P_{AECF}=P_{ABCD}-P_{ABE}-P_{ADF}=225-45-75=105$ cm${}^2$.

Odpowiedź: Pole czworokąta $AECF$ jest równe 105 cm${}^2$.

Krok 1. Liczymy długość krawędzi podstawy. Ściana boczna to trójkąt, którego podstawą jest krawędź podstawy ostrosłupa ($a$), a wysokością — 12 cm (wysokość ściany bocznej poprowadzona do tej krawędzi). Pole tej ściany to 108 cm${}^2$. Ze wzoru na pole trójkąta: $108=\frac{1}{2}\times a\times 12=6a$, więc $a=108:6=18$ cm.

Krok 2. Liczymy długość krawędzi bocznej z twierdzenia Pitagorasa. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość ściany bocznej, połowa krawędzi podstawy i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny: krawędź boczna jest przeciwprostokątną, a przyprostokątnymi są wysokość ściany bocznej (12 cm) i połowa krawędzi podstawy ($18:2=9$ cm). $c^2=12^2+9^2=144+81=225$, więc $c=\sqrt{225}=15$ cm.

Krok 3. Liczymy sumę wszystkich krawędzi. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma 4 krawędzie podstawy (po 18 cm) i 4 krawędzie boczne (po 15 cm): $4\times 18+4\times 15=72+60=132$ cm.

Odpowiedź: Suma długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa 132 cm.