Matematyka — Kwiecień 2019

Krok 1. Ustalamy punkt odniesienia. Wiemy, że 31 sierpnia 2017 r. to czwartek. Dni tygodnia powtarzają się co 7 dni, więc żeby znaleźć inny dzień tygodnia, liczymy, o ile dni wcześniej lub później on wypada, i sprawdzamy, ile to pełnych tygodni i ile dni „nadmiaru”.

Krok 2. Sprawdzamy urodziny Ewy (18 sierpnia). Od 18 do 31 sierpnia mija $31-18=13$ dni. $13$ dni to $1$ tydzień ($7$ dni) i jeszcze $6$ dni. Jeden tydzień nic nie zmienia (czwartek znowu wypadnie w czwartek), więc liczymy $6$ dni wstecz od czwartku: środa, wtorek, poniedziałek, niedziela, sobota, piątek. Czyli 18 sierpnia to piątek. Pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).

Krok 3. Sprawdzamy urodziny Karola (2 października). Od 31 sierpnia do 2 października: sierpień ma 31 dni, więc od 31 sierpnia do 30 września mija 30 dni, a potem jeszcze 2 dni do 2 października — razem $32$ dni. $32$ dni to $4$ tygodnie ($28$ dni) i jeszcze $4$ dni. 4 tygodnie nic nie zmieniają, więc liczymy 4 dni do przodu od czwartku: piątek, sobota, niedziela, poniedziałek. Czyli 2 października to poniedziałek. Drugie zdanie jest też prawdziwe (P).

Odpowiedź: PP.

Krok 1. Co znaczy zaokrąglenie do dziesiątek. Liczbę zaokrąglamy do dziesiątek, sprawdzając, do której „pełnej dziesiątki” jest bliżej. Liczby, które zaokrąglają się do 1450, to te, które różnią się od 1450 o nie więcej niż 4 (bo od 5 w górę zaokrąglamy już do następnej dziesiątki).

Krok 2. Wypisujemy cały zakres. Takimi liczbami są wszystkie liczby naturalne od 1445 do 1454 (włącznie) — sprawdź: 1445 zaokrąglamy w górę do 1450, a 1454 zaokrąglamy w dół do 1450. Liczb w tym zakresie jest $1454-1445+1=10$.

Krok 3. Odrzucamy samo 1450. Pytanie dotyczy liczb RÓŻNYCH od 1450, więc odrzucamy samą liczbę 1450, która też należy do tego zakresu. Zostaje $10-1=9$ liczb.

Odpowiedź: C.

Krok 1. Rozkładamy liczbę 50. $50=5\cdot 10$, więc $50^8=5^8\cdot 10^8$. To jest nasz cel — sprawdzamy, które wyrażenie da taki sam wynik.

Krok 2. Sprawdzamy wyrażenie I. $5^2\cdot 10^8\cdot 5^4=5^{2+4}\cdot 10^8=5^6\cdot 10^8$. To nie jest $5^8\cdot 10^8$ (mamy $5^6$, a potrzebujemy $5^8$) — wyrażenie I nie jest równe $50^8$.

Krok 3. Sprawdzamy wyrażenie II. $(5^{10}:5^2)\cdot 10^8=5^{10-2}\cdot 10^8=5^8\cdot 10^8=50^8$. Wyrażenie II jest równe $50^8$.

Krok 4. Sprawdzamy wyrażenie III. $2^8\cdot 5^8\cdot 5^8=(2\cdot 5{)}^8\cdot 5^8=10^8\cdot 5^8=50^8$ (bo $2^8\cdot 5^8=(2\cdot 5{)}^8=10^8$). Wyrażenie III jest równe $50^8$.

Odpowiedź: B (tylko II i III).

Krok 1. Szacujemy pierwiastki, bez liczenia ich dokładnie. Wystarczy oszacować każdy pierwiastek między dwiema sąsiednimi liczbami całkowitymi.

• $\sqrt{35}$: $5^2=25$, $6^2=36$, więc $\sqrt{35}$ jest blisko 6 (odrobinę mniej), czyli około $5,9$.
• $\sqrt{17}$: $4^2=16$, $5^2=25$, więc $\sqrt{17}$ jest tylko odrobinę większe od 4, czyli około $4,1$.
• $\sqrt{48}$: $6^2=36$, $7^2=49$, więc $\sqrt{48}$ jest blisko 7 (odrobinę mniej), czyli około $6,9$.
• $\sqrt{26}$: $5^2=25$, $6^2=36$, więc $\sqrt{26}$ jest tylko odrobinę większe od 5, czyli około $5,1$.

Krok 2. Sprawdzamy każde wyrażenie.

• I: $4+\sqrt{35}\approx 4+5,9=9,9$ — mniejsze od 10.
• II: $6+\sqrt{17}\approx 6+4,1=10,1$ — większe od 10.
• III: $17-\sqrt{48}\approx 17-6,9=10,1$ — większe od 10.
• IV: $15-\sqrt{26}\approx 15-5,1=9,9$ — mniejsze od 10.

Odpowiedź: D (I i IV).

Krok 1. Ile kart powstało w sumie. Adam miał 4 arkusze kartonu. Każdy podzielił na 4 części — to daje $4\times 4=16$ części. Potem każdą z tych 16 części podzielił jeszcze raz na 4 części, czyli $16\times 4=64$ karty w sumie.

Odpowiedź do pierwszego zdania: B (64 karty).

Krok 2. Ile kart może dostać jeden gracz. Mamy 64 karty i 5 graczy, każdy ma dostać tyle samo kart. Dzielimy: $64:5=12$ reszty $4$ (bo $5\times 12=60$, a $64-60=4$). To znaczy, że każdy gracz może dostać maksymalnie 12 kart (4 karty zostaną nierozdane, bo nie da się ich podzielić po równo na 5 graczy).

Odpowiedź do drugiego zdania: C (12 kart).

Odpowiedź: B, C.

Krok 1. Na ile części dzielimy cały syrop. Stosunek cukru do wody to 5:3, czyli myślowo dzielimy cały syrop na $5+3=8$ równych części. Cukier to 5 z tych 8 części.

Krok 2. Zamieniamy części na procent. Cały syrop to 100%, a mamy w nim 8 części, więc jedna część to $100\%:8=12,5\%$. Cukier to 5 takich części, czyli $5\times 12,5\%=62,5\%$.

Odpowiedź: E (62,5%).

Krok 1. Sprawdzamy pierwsze zdanie. Połowa pracowników zarabia 3000 zł, a druga połowa 4000 zł — obu grup jest tyle samo. Średnia arytmetyczna dwóch równo licznych grup to po prostu średnia z tych dwóch kwot: $(3000+4000):2=3500$ zł. Pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).

Krok 2. Sprawdzamy drugie zdanie. Jeśli odejdzie jedna osoba zarabiająca 3000 zł i jedna zarabiająca 4000 zł, to w firmie wciąż będzie tyle samo osób z każdej z tych dwóch grup zarobkowych (ubyła jedna z każdej grupy, więc grupy są nadal równe liczebnie). Skoro grupy są równe liczebnie i zarabiają tyle samo co wcześniej, średnia się nie zmienia — wciąż wynosi 3500 zł. Drugie zdanie jest też prawdziwe (P).

Odpowiedź: PP.

Krok 1. Rozpoznajemy wzór. Wyrażenie $(2a+3b)(3b-2a)$ możemy zapisać jako $(3b+2a)(3b-2a)$ — to jest wzór skróconego mnożenia „suma razy różnica”: $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, gdzie $x=3b$ i $y=2a$.

Krok 2. Podstawiamy. $(3b+2a)(3b-2a)=(3b{)}^2-(2a{)}^2=9b^2-4a^2$.

Odpowiedź: C.

Krok 1. Liczymy środek odcinka. Środek odcinka o końcach $K=(x_1,y_1)$ i $L=(x_2,y_2)$ liczymy ze wzoru $\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$.

Krok 2. Podstawiamy współrzędne. Współrzędna x środka: $\frac{-17+15}{2}=\frac{-2}{2}=-1$. Współrzędna y środka: $\frac{6+(-4)}{2}=\frac{2}{2}=1$. Środek odcinka to punkt $(-1,1)$.

Krok 3. Sprawdzamy, w której ćwiartce leży ten punkt. Współrzędna x jest ujemna ($-1$), a współrzędna y jest dodatnia ($1$). Taki punkt leży w II ćwiartce układu współrzędnych (x<0, y>0).

Odpowiedź: B (rysunek z zakropkowaną II ćwiartką).

Krok 1. Obwód kwadratu. Kwadrat ma bok $a$, więc jego obwód to $4a$.

Krok 2. Obliczamy obwód nowej figury — idziemy po jej brzegu krok po kroku. Zaczynamy w lewym dolnym rogu i idziemy zgodnie z brzegiem figury:

• dół (cała szerokość): $a$,
• prawy bok (jest jedną prostą linią, bo obie części są wyrównane po prawej stronie — ich wysokości się dodają): $\frac{a}{2}+a=\frac{3a}{2}$,
• góra (tylko węższej, wyższej części): $\frac{a}{2}$,
• w dół, wewnętrzny „stopień” (różnica wysokości obu części): $a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}$,
• w lewo, po górze niższej części (odsłonięty kawałek): $a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}$,
• lewy bok (wysokość niższej części): $\frac{a}{2}$.

Suma: $a+\frac{3a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{a}{2}=5a$.

Krok 3. Sprawdzamy pierwsze zdanie. Obwód nowej figury ($5a$) minus obwód kwadratu ($4a$) to $5a-4a=a$, a NIE $1,5a$. Pierwsze zdanie jest fałszywe (F).

Krok 4. Sprawdzamy drugie zdanie. Policzyliśmy w kroku 2, że obwód nowej figury to $5a$ — to zdanie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: FP.

Krok 1. Co to znaczy, że trójkąty są przystające. Dwa trójkąty są przystające, jeśli są dokładnie takie same — mają te same kąty i te same długości boków (mogą się różnić tylko położeniem czy obróceniem).

Krok 2. Liczymy trzeci kąt w każdym trójkącie. Suma kątów w trójkącie to zawsze $180°$.

• Trójkąt $ABC$: $180°-45°-76°=59°$. Kąty: $45°,59°,76°$.
• Trójkąt $KLM$: $180°-49°-55°=76°$. Kąty: $49°,55°,76°$.
• Trójkąt $PQR$: $180°-76°-55°=49°$. Kąty: $49°,55°,76°$.

Krok 3. Porównujemy zestawy kątów. Trójkąt $ABC$ ma kąty $45°,59°,76°$ — inny zestaw niż w dwóch pozostałych trójkątach, więc $ABC$ nie może być przystający do żadnego z nich. Trójkąty $KLM$ i $PQR$ mają identyczny zestaw kątów: $49°,55°,76°$.

Krok 4. Sprawdzamy, czy podany bok też się zgadza. W trójkącie $KLM$ bok $KL=7$ leży „naprzeciwko” kąta $M=49°$ (bo wierzchołka $M$ nie ma na tym boku). W trójkącie $PQR$ bok $PR=7$ leży naprzeciwko kąta $Q$ — a $Q=180°-76°-55°=49°$. W obu trójkątach bok długości 7 leży naprzeciwko kąta $49°$ — czyli oba trójkąty mają te same trzy kąty ORAZ tak samo położony bok tej samej długości.

Odpowiedź: B (trójkąt $KLM$ jest przystający do trójkąta $PQR$).

Krok 1. Zauważamy, że punkty D, E, C leżą na jednej linii. Punkt $E$ leży na boku $DC$ równoległoboku, więc kąt $BCE$ to w praktyce kąt $BCD$ — kąt równoległoboku przy wierzchołku $C$. Mamy więc $\angle BCD=106°$.

Krok 2. Liczymy kąt przy wierzchołku D. W równoległoboku sąsiadujące kąty (przy jednym boku) dopełniają się do $180°$. Kąty $C$ i $D$ sąsiadują przy boku $DC$, więc $\angle ADC=180°-106°=74°$.

Krok 3. Ten sam kąt jest kątem trójkąta $AED$. Skoro $E$ leży na $DC$, kąt $ADE$ to ten sam kąt co $ADC$ — mają ten sam wierzchołek $D$ i te same ramiona. Czyli $\angle ADE=74°$.

Krok 4. Wykorzystujemy, że trójkąt $AED$ jest równoramienny. Mamy $|DE|=|AE|$. W trójkącie kąty naprzeciwko równych boków są równe: kąt naprzeciwko $AE$ to $\angle ADE$, a kąt naprzeciwko $DE$ to $\angle DAE$. Skoro $AE=DE$, to $\angle DAE=\angle ADE=74°$.

Krok 5. Liczymy trzeci kąt trójkąta $AED$. $\angle AED=180°-74°-74°=32°$.

Krok 6. Liczymy szukany kąt $AEC$. Kąty $AED$ i $AEC$ są przy tym samym wierzchołku $E$, po dwóch stronach odcinka $AE$, a punkty $D,E,C$ leżą na jednej linii — więc te dwa kąty razem tworzą kąt półpełny (linię prostą): $\angle AED+\angle AEC=180°$. Stąd $\angle AEC=180°-32°=148°$.

Odpowiedź: A.

Krok 1. Liczymy przekątną $DB$ z pierwszego trójkąta. Trójkąt $DAB$ ma kąt prosty przy wierzchołku $A$, więc boki $AD$ i $AB$ są przyprostokątnymi, a $DB$ jest przeciwprostokątną. Z twierdzenia Pitagorasa: $|DB{|}^2=|AD{|}^2+|AB{|}^2=(\sqrt{2}{)}^2+1^2=2+1=3$, czyli $|DB|=\sqrt{3}$.

Krok 2. Liczymy $CD$ z drugiego trójkąta. Trójkąt $DBC$ ma kąt prosty przy wierzchołku $B$, więc boki $DB$ i $BC$ są przyprostokątnymi, a $DC$ jest przeciwprostokątną. Z twierdzenia Pitagorasa: $|DC{|}^2=|DB{|}^2+|BC{|}^2=3+1^2=4$, czyli $|DC|=\sqrt{4}=2$.

Odpowiedź: B.

Krok 1. Szukamy największego sześcianu, jaki da się zbudować. Duży sześcian złożony z małych klocków ma $n\times n\times n=n^3$ klocków. Szukamy największej liczby $n$, dla której $n^3\le 203$.

Krok 2. Sprawdzamy kolejne liczby. $5^3=125$ (mniej niż 203 — zmieści się). $6^3=216$ (więcej niż 203 — nie zmieści się). Największy możliwy sześcian to $5\times 5\times 5=125$ klocków.

Krok 3. Liczymy, ile klocków zostało. $203-125=78$.

Odpowiedź: C.

Krok 1. Jakie krawędzie ma ostrosłup prawidłowy czworokątny. Ma podstawę w kształcie kwadratu (4 równe krawędzie podstawy) i 4 krawędzie boczne schodzące się w wierzchołku (w ostrosłupie prawidłowym wszystkie krawędzie boczne są równej długości).

Krok 2. Odczytujemy długości z siatki. Krawędź podstawy: $40$ cm. Krawędź boczna: $50$ cm.

Krok 3. Liczymy sumę wszystkich krawędzi. Krawędzie podstawy: $4\times 40=160$ cm. Krawędzie boczne: $4\times 50=200$ cm. Suma: $160+200=360$ cm.

Odpowiedź: B.

Krok 1. Liczymy, jaki procent meczów drużyna przegrała. Wygrane to 25%, remisy to 45%. Wszystkie mecze to 100%, więc przegrane to $100\%-25\%-45\%=30\%$.

Krok 2. Ustalamy, ile meczów odpowiada 1%. Wiemy, że 25% meczów to 10 wygranych meczów, więc $10:25=0,4$ meczu na każdy 1%.

Krok 3. Liczymy liczbę przegranych meczów. Przegrane to 30%, czyli $30\times 0,4=12$ meczów.

Odpowiedź: Drużyna w ciągu całego sezonu przegrała 12 meczów.

Krok 1. Liczymy czas przejazdu busa. Czas = droga : prędkość, czyli $120:80=1,5$ godziny.

Krok 2. Zamieniamy czas busa na minuty. $1,5$ godziny to $1,5\times 60=90$ minut.

Krok 3. Porównujemy czasy. Samochód jechał 75 minut, bus 90 minut. Różnica: $90-75=15$ minut.

Odpowiedź: Czas przejazdu tej trasy samochodem osobowym był o 15 minut krótszy niż czas przejazdu busem.

Krok 1. Opisujemy sytuację za pomocą liczby róż. Niech $x$ oznacza liczbę róż w bukiecie. Goździków było 2 razy więcej, czyli $2x$.

Krok 2. Zapisujemy koszt bukietu. Koszt róż: $4x$ zł. Koszt goździków: $3\times 2x=6x$ zł. Koszt całego bukietu: $4x+6x=10x$ zł.

Krok 3. Sprawdzamy, czy koszt może wynosić 35 zł. Szukamy takiego $x$, żeby $10x=35$. Wtedy $x=3,5$.

Krok 4. Sprawdzamy, czy taki wynik ma sens. $x$ oznacza liczbę róż, więc musi być liczbą całkowitą (nie można kupić 3,5 róży). Ponieważ $x=3,5$ nie jest liczbą całkowitą, taki bukiet nie mógł powstać.

Odpowiedź: Nie, bukiet nie mógł kosztować 35 zł, ponieważ liczba róż wyszłaby niecałkowita (3,5), co nie jest możliwe.

Krok 1. Oznaczamy szukaną liczbę. Niech $x$ oznacza liczbę wszystkich zaplanowanych konkurencji.

Krok 2. Liczymy, co zostało po pierwszej części dnia. Do 12:00 przeprowadzono połowę, czyli $\frac{1}{2}x$. Zostało jeszcze $x-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x$.

Krok 3. Liczymy, co przeprowadzono w drugiej części dnia. Między 12:00 i 14:00 przeprowadzono $\frac{1}{3}$ z tego, co zostało: $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}x=\frac{1}{6}x$.

Krok 4. Liczymy, co zostało nieprzeprowadzone. $\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}x=\frac{3}{6}x-\frac{1}{6}x=\frac{2}{6}x=\frac{1}{3}x$.

Krok 5. Wykorzystujemy informację o 12 konkurencjach. $\frac{1}{3}x=12$, więc $x=12\times 3=36$.

Odpowiedź: Podczas całego dnia sportu planowano przeprowadzić 36 konkurencji.

Krok 1. Opisujemy wymiary jednej małej działki. Niech krótszy bok małej działki ma długość $a$, a dłuższy bok długość $b$. Lewa mała działka stoi na całą wysokość $b$, a po prawej stronie dwie małe działki o wysokości $a$ każda są ułożone jedna na drugiej i razem dają tę samą wysokość $b$. Czyli $b=2a$.

Krok 2. Ustalamy wymiary całej działki. Szerokość całej działki to szerokość lewej działki ($a$) plus szerokość prawej działki ($b$): $a+b=a+2a=3a$. Wysokość całej działki to $b=2a$.

Krok 3. Wykorzystujemy pole całej działki. Pole: $3a\times 2a=6a^2$. Wiemy, że to pole to $3750{\text{m}}^2$, więc $6a^2=3750$, czyli $a^2=625$, stąd $a=25$.

Krok 4. Liczymy końcowe wymiary. $b=2a=50$. Wymiary całej działki: $3a=75$ oraz $b=50$.

Odpowiedź: Działka przed podziałem miała 75 m długości i 50 m szerokości.

Krok 1. Liczymy przeciwprostokątną trójkąta $ABC$. Kąt prosty jest przy $A$, więc przyprostokątne to $12$ i $16$, a przeciwprostokątna to $BC$. Z twierdzenia Pitagorasa: $|BC{|}^2=12^2+16^2=144+256=400$, czyli $|BC|=\sqrt{400}=20$ cm.

Krok 2. Liczymy obwód trójkąta $ABC$. $12+16+20=48$ cm.

Krok 3. Ustalamy boki odcinka, który przecina trójkąt. Łączymy środek $AC$ ze środkiem $BC$. Ten odcinek dzieli boki na połowy: połowa $AC$ to $16:2=8$ cm, połowa $BC$ to $20:2=10$ cm. Sam odcinek łączący środki jest równoległy do $AB$ i ma długość równą jego połowie, czyli $12:2=6$ cm (to jest własność odcinka łączącego środki dwóch boków trójkąta). Ten odcinek rozcina trójkąt na mały trójkąt (o bokach $8$ cm, $10$ cm i $6$ cm) i trapez (o bokach $12$ cm, $8$ cm, $6$ cm i $10$ cm).

Krok 4. Sprawdzamy, że mały trójkąt ma kąt prosty. Mały trójkąt (przy wierzchołku $C$) ma boki $8$, $6$ i $10$ — sprawdzamy: $8^2+6^2=64+36=100=10^2$, więc to też trójkąt prostokątny, z przeciwprostokątną $10$ i przyprostokątnymi $8$ i $6$.

Krok 5. Układamy trapez $PRST$. Paweł ustawił mały trójkąt tak, żeby jego krótsza przyprostokątna ($6$ cm) leżała na dole, a dłuższa ($8$ cm) stała pionowo — dokładnie na taką wysokość, na jaką wznosi się bok trapezowej części ($8$ cm), żeby góra wyszła równo. Wtedy przeciwprostokątna małego trójkąta ($10$ cm) staje się nowym, ukośnym lewym bokiem $PT$. Nowy dolny bok $PR$ to suma: $6$ cm (z małego trójkąta) $+12$ cm (bok trapezowej części) $=18$ cm. Górny bok $TS$ zostaje bez zmian: $6$ cm. Prawy ukośny bok $SR$ też zostaje bez zmian: $10$ cm.

Krok 6. Liczymy obwód trapezu $PRST$. $PR+RS+ST+TP=18+10+6+10=44$ cm.

Krok 7. Liczymy różnicę obwodów. $48-44=4$ cm.

Odpowiedź: Różnica obwodów trójkąta $ABC$ i trapezu $PRST$ jest równa 4 cm.