Matematyka — Maj 2022

Krok 1. Ustalamy, ile uczniów to 1%. Wiemy, że czworo uczniów zaznaczyło „żadne z wymienionych”, a to odpowiada 5% wszystkich ankietowanych. Żeby znaleźć liczbę uczniów odpowiadającą 1%, dzielimy: $4:5=0,8$ ucznia na każdy 1%.

Krok 2. Sprawdzamy pierwsze zdanie. Wszyscy ankietowani to 100%, czyli $100\times 0,8=80$ uczniów. Zdanie „W ankiecie wzięło udział 80 uczniów” jest prawdziwe (P).

Krok 3. Sprawdzamy drugie zdanie — liczymy, ile uczniów wybrało filmy fantasy. Filmy fantasy to 40%, czyli $40\times 0,8=32$ uczniów.

Krok 4. Liczymy, ile uczniów wybrało filmy przyrodnicze. Filmy przyrodnicze to 15%, czyli $15\times 0,8=12$ uczniów.

Krok 5. Porównujemy te dwie liczby. $32-12=20$. Rzeczywiście filmy fantasy wybrało o 20 uczniów więcej niż filmy przyrodnicze — drugie zdanie jest też prawdziwe (P).

Odpowiedź: PP.

Krok 1. Liczymy potęgi. $4^2=16$ oraz $3^2=9$.

Krok 2. Podstawiamy do wyrażenia. Wyrażenie zmienia się na $\frac{16}{5}-9$.

Krok 3. Sprowadzamy do wspólnego mianownika. Liczbę 9 zapisujemy jako ułamek o mianowniku 5: $9=\frac{45}{5}$. Wtedy $\frac{16}{5}-\frac{45}{5}=\frac{16-45}{5}=\frac{-29}{5}=-\frac{29}{5}$.

Odpowiedź: A.

Krok 1. Szukamy największej liczby trzycyfrowej o sumie cyfr 6. Żeby liczba była jak największa, chcemy, by pierwsza cyfra (cyfra setek) była jak największa. Ponieważ suma wszystkich trzech cyfr musi wynosić 6, cyfra setek może być maksymalnie równa 6 (wtedy dwie pozostałe cyfry to same zera — bo nie zostaje już nic do rozdzielenia). Największa taka liczba to $600$.

Krok 2. Szukamy najmniejszej liczby trzycyfrowej o sumie cyfr 6. Żeby liczba była jak najmniejsza, cyfra setek powinna być jak najmniejsza — ale nie może być zerem (bo wtedy liczba nie byłaby trzycyfrowa), więc najmniejsza możliwa cyfra setek to 1. Zostaje $6-1=5$ do rozdzielenia między cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności. Żeby cała liczba była jak najmniejsza, cyfra dziesiątek też powinna być jak najmniejsza, czyli 0, a cała reszta (5) trafia na cyfrę jedności. Najmniejsza taka liczba to $105$.

Krok 3. Liczymy sumę wybranych liczb. $600+105=705$.

Odpowiedź: B.

Krok 1. Liczymy $k$. $k=323+160=483$.

Krok 2. Sprawdzamy podzielność przez 3 metodą sumy cyfr. Liczba jest podzielna przez 3 wtedy, gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3. Cyfry liczby 483 to 4, 8 i 3. Ich suma: $4+8+3=15$. Liczba 15 dzieli się przez 3 (bo $15:3=5$), więc liczba 483 też dzieli się przez 3.

Krok 3. Wybieramy odpowiedź. Liczba $k$ JEST podzielna przez 3, więc odpowiedź to „Tak” (A), a uzasadnieniem jest to, co właśnie policzyliśmy — suma cyfr 3, 4 i 8 jest liczbą podzielną przez 3 (uzasadnienie 3).

Odpowiedź: A3.

Krok 1. Liczymy $x$. W liczniku mnożymy potęgi o tej samej podstawie — dodajemy wykładniki: $10^{30}\cdot 10^{70}=10^{100}$. Potem dzielimy przez $10$, czyli odejmujemy 1 od wykładnika: $x=10^{100}:10=10^{99}$.

Krok 2. Liczymy $y$. Najpierw potęgujemy potęgę — mnożymy wykładniki: $(10^3{)}^{15}=10^{3\cdot 15}=10^{45}$. Potem mnożymy potęgi o tej samej podstawie — dodajemy wykładniki: $y=10^{45}\cdot 10^{60}=10^{105}$.

Krok 3. Liczymy $z$. Najpierw dzielimy potęgi w ułamku — odejmujemy wykładniki: $\frac{10^{80}}{10^{20}}=10^{60}$. Potem mnożymy: $z=10^{50}\cdot 10^{60}=10^{110}$.

Krok 4. Porównujemy z $10^{100}$. $x=10^{99}$ — to mniej niż $10^{100}$, bo wykładnik jest mniejszy. $y=10^{105}$ — to więcej niż $10^{100}$. $z=10^{110}$ — to też więcej niż $10^{100}$. Tylko $x$ jest mniejsze od $10^{100}$.

Odpowiedź: A.

Krok 1. Ustalamy, ile razy więcej materiału zużywa jedna bluzka $L$ niż jedna bluzka $S$. 90 bluzek $S$ zużywa tyle samo materiału co 60 bluzek $L$. To znaczy, że jedna bluzka $L$ zużywa tyle materiału, co $90:60=1,5$ bluzki $S$ — bo potrzeba mniej bluzek $L$, żeby zużyć tę samą ilość materiału, więc każda bluzka $L$ „waży” materiałowo więcej.

Krok 2. Liczymy pierwszą lukę. Szukamy, ile bluzek $L$ zużywa tyle materiału, co 240 bluzek $S$. Skoro 1 bluzka $L$ odpowiada $1,5$ bluzki $S$ (materiałowo), to liczba bluzek $L$ to $240:1,5=160$.

Odpowiedź do pierwszej luki: A (160).

Krok 3. Liczymy drugą lukę. Szukamy, ile bluzek $S$ zużywa tyle materiału, co 2 bluzki $L$. Jedna bluzka $L$ to $1,5$ bluzki $S$, więc dwie bluzki $L$ to $2\times 1,5=3$ bluzki $S$.

Odpowiedź do drugiej luki: C (trzech).

Odpowiedź: A, C.

Krok 1. Pamiętamy, że czwarta potęga liczby jest zawsze nieujemna. Niezależnie od znaku liczby $n$, wartość $n^4$ (czyli $n$ pomnożone przez siebie 4 razy) jest zawsze $\ge 0$ — parzysta liczba mnożeń „usuwa” minusy. Dlatego $n^4$ wychodzi to samo dla liczby dodatniej i dla jej liczby przeciwnej (np. dla 3 i dla $-3$).

Krok 2. Liczymy wartość wyrażenia dla każdej liczby.

• Dla $n=-3$: $n^4=81$, więc $\frac{81-3}{6}=\frac{78}{6}=13$.
• Dla $n=-1$: $n^4=1$, więc $\frac{1-3}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$.
• Dla $n=0$: $n^4=0$, więc $\frac{0-3}{6}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$.
• Dla $n=1$: tak samo jak dla $-1$ (ta sama czwarta potęga): $-\frac{1}{3}$.
• Dla $n=3$: tak samo jak dla $-3$: $13$.

Krok 3. Porównujemy wyniki i szukamy najmniejszego. Mamy wartości: $13$, $-\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{3}$, $13$. Najmniejsza z nich to $-\frac{1}{2}$ — jest ona „bardziej w lewo” na osi liczbowej niż $-\frac{1}{3}$. Ta wartość wyszła dla $n=0$.

Odpowiedź: C.

Krok 1. Szukamy dwóch sąsiednich liczb całkowitych, między którymi leży $\sqrt{60}$. Sprawdzamy kwadraty liczb całkowitych blisko 60: $7^2=49$ oraz $8^2=64$.

Krok 2. Porównujemy. $49<60<64$, więc $\sqrt{49}<\sqrt{60}<\sqrt{64}$, czyli $7<\sqrt{60}<8$. Liczba $\sqrt{60}$ jest większa od 7 i mniejsza od 8.

Odpowiedź: C.

Krok 1. Liczymy odległość $PR$. $P=-3$, $R=7$, więc $PR=7-(-3)=10$.

Krok 2. Ustalamy, jaką część całego odcinka $PS$ stanowi $PR$. Cały odcinek $PS$ jest podzielony na 8 równych części, a $PR$ to 5 z tych 8 części, czyli $\frac{5}{8}$ całego odcinka $PS$.

Krok 3. Liczymy długość jednej części. Jeśli $\frac{5}{8}$ długości $PS$ to $10$, to jedna część (czyli $\frac{1}{8}$ długości $PS$) ma długość $10:5=2$.

Krok 4. Liczymy całą długość $PS$. Skoro jedna część to 2, a cały odcinek to 8 takich części: $PS=8\times 2=16$.

Krok 5. Liczymy współrzędną punktu $S$. $S=P+PS=-3+16=13$.

Odpowiedź: C.

Krok 1. Liczymy rozmiar pliku Lidki. Plik Lidki jest 2,5 razy większy niż plik Igora (13 MB), więc $13\times 2,5=32,5$ MB.

Krok 2. Liczymy, o ile plik Lidki jest większy. Odejmujemy rozmiar pliku Igora od rozmiaru pliku Lidki: $32,5-13=19,5$ MB.

Odpowiedź: B.

Krok 1. Co zostaje po maju. W maju zużyto $\frac{1}{3}x$, więc po maju zostaje $x-\frac{1}{3}x$ — to jest masa ziemi, jaka była dostępna „na start” czerwca.

Krok 2. Co zużywa się w czerwcu. W czerwcu zużyto połowę tego, co ZOSTAŁO po maju, czyli połowę wyrażenia z kroku 1: $\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{3}x\right)$.

Krok 3. Co zostaje na lipiec. Żeby policzyć, co zostaje po czerwcu (czyli ile jest na lipiec), od ilości, która była po maju, odejmujemy to, co zużyto w czerwcu: $\left(x-\frac{1}{3}x\right)-\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{3}x\right)$.

Krok 4. Zapisujemy równanie. Wiemy, że to, co zostało na lipiec, to 60 kg, więc: $\left(x-\frac{1}{3}x\right)-\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{3}x\right)=60$.

Odpowiedź: D.

Krok 1. Liczymy cenę jednego biletu 75-minutowego. Martyna zapłaciła 24 zł za 6 takich biletów, więc jeden kosztuje $24:6=4$ zł.

Krok 2. Liczymy cenę jednego biletu 20-minutowego. Weronika zapłaciła 12 zł za 4 takie bilety, więc jeden kosztuje $12:4=3$ zł.

Krok 3. Liczymy, ile zapłaciła Ania. Ania kupiła 2 bilety 75-minutowe (po 4 zł) i 2 bilety 20-minutowe (po 3 zł): $2\times 4+2\times 3=8+6=14$ zł.

Odpowiedź: B.

Krok 1. Liczymy kąt $ADB$. Punkty $B$, $D$, $C$ leżą na jednej prostej, bo $D$ leży na boku $BC$. Dlatego kąty $ADC$ i $ADB$ leżą po dwóch stronach odcinka $AD$ i razem tworzą kąt półpełny, czyli $180°$. Stąd $\angle ADB=180°-130°=50°$.

Krok 2. Wykorzystujemy, że trójkąt $ABD$ jest równoramienny. Wiemy, że $|AD|=|BD|$. W trójkącie kąty leżące naprzeciwko równych boków są równe: kąt naprzeciwko $AD$ to $\angle ABD$ (przy wierzchołku $B$), a kąt naprzeciwko $BD$ to $\angle BAD$ (przy wierzchołku $A$). Skoro $AD=BD$, to $\angle ABD=\angle BAD$.

Krok 3. Liczymy te dwa równe kąty. Suma kątów w trójkącie $ABD$ to $180°$: $\angle ADB+\angle ABD+\angle BAD=180°$. Podstawiamy: $50°+2\times \angle BAD=180°$, więc $\angle BAD=\frac{130°}{2}=65°$.

Krok 4. Liczymy kąt $DAC$ w trójkącie $ADC$. Suma kątów trójkąta $ADC$ to $180°$: $\angle ADC+\angle DCA+\angle DAC=180°$. Kąt $DCA$ to ten sam kąt, co dany w treści kąt $BCA=35°$ (bo $D$ leży na $BC$). Podstawiamy: $130°+35°+\angle DAC=180°$, więc $\angle DAC=15°$.

Krok 5. Liczymy szukany kąt $CAB$. Odcinek $AD$ dzieli kąt $CAB$ na dwie części: $\angle BAD$ (z kroku 3) i $\angle DAC$ (z kroku 4). Razem: $\angle CAB=\angle BAD+\angle DAC=65°+15°=80°$.

Odpowiedź: D.

Krok 1. Co się nie zmienia po dołożeniu kulek. Dokładamy tylko zielone kulki, więc liczba niebieskich kulek zostaje taka sama: 8.

Krok 2. Zapisujemy warunek na prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo wylosowania kulki niebieskiej to liczba kulek niebieskich podzielona przez liczbę WSZYSTKICH kulek w pudełku. Niech $g$ oznacza liczbę dołożonych zielonych kulek. Wszystkich kulek jest teraz $6+8+g=14+g$. Warunek z treści zadania: $\frac{8}{14+g}=\frac{1}{4}$.

Krok 3. Rozwiązujemy to równanie. Mnożymy obie strony na krzyż: $8\times 4=14+g$, czyli $32=14+g$, stąd $g=32-14=18$.

Odpowiedź: C.

Krok 1. Liczymy długość ukośnego boku $LM$. Bok $LM$ jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm. Z twierdzenia Pitagorasa: $|LM{|}^2=3^2+4^2=9+16=25$, więc $|LM|=\sqrt{25}=5$ cm.

Krok 2. Sprawdzamy pierwsze zdanie — liczymy pole trapezu. Trapez ma dwie podstawy równoległe: krótszą $KL=3$ cm i dłuższą $NM=6$ cm, a wysokość (odległość między podstawami) to bok $NK=4$ cm. Pole trapezu liczymy ze wzoru: pole $=\frac{a+b}{2}\times h$, gdzie $a$, $b$ to długości podstaw, a $h$ to wysokość. Podstawiamy: $\frac{3+6}{2}\times 4=\frac{9}{2}\times 4=18{\text{ cm}}^2$. Zdanie „Pole trapezu jest równe $18{\text{ cm}}^2$” jest prawdziwe (P).

Krok 3. Sprawdzamy drugie zdanie — liczymy obwód trapezu. Dodajemy długości wszystkich czterech boków: $KL+LM+MN+NK=3+5+6+4=18$ cm. Zdanie „Obwód trapezu jest równy 18 cm” jest też prawdziwe (P).

Odpowiedź: PP.

Krok 1. Ile korali nie jest zielonych. Srebrnych jest 4, czerwonych 8, razem $4+8=12$ korali, które NIE są zielone.

Krok 2. Jaki procent wszystkich korali to te 12 korali. Zielone korale to 20% wszystkich, więc korale, które nie są zielone (srebrne + czerwone), to $100\%-20\%=80\%$ wszystkich korali.

Krok 3. Ustalamy, ile korali odpowiada 1%. Wiemy, że 80% to 12 korali, więc $1\%$ to $12:80=0,15$ korala.

Krok 4. Liczymy liczbę zielonych korali. Zielone korale to 20%, czyli $20\times 0,15=3$ korale.

Krok 5. Sprawdzamy wynik. Jeśli zielonych jest 3, to wszystkich korali w naszyjniku jest $12+3=15$. Sprawdzamy: $3:15=0,2=20\%$ — zgadza się.

Odpowiedź: W naszyjniku są 3 korale zielone.

Krok 1. Liczymy, ile minut trwała jazda. Od godziny 7:50 do godziny 8:05 minęło $15$ minut.

Krok 2. Zamieniamy minuty na część godziny — bo prędkość ma być w km/h. $15$ minut to $\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$ godziny, czyli $0,25$ h.

Krok 3. Liczymy prędkość. Prędkość to droga podzielona przez czas: $v=\frac{s}{t}=\frac{22,5\text{ km}}{0,25\text{ h}}$. Dzielenie przez $0,25$ to tak samo, jak mnożenie przez $4$ (bo $0,25=\frac{1}{4}$, a dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność): $22,5\times 4=90$.

Odpowiedź: Kierowca jechał z prędkością $90\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

Krok 1. Liczymy długość boku rombu. Romb ma 4 równe boki, a jego obwód to 52 cm, więc jeden bok ma długość $52:4=13$ cm.

Krok 2. Przypominamy własność przekątnych rombu. W rombie przekątne przecinają się pod kątem prostym (90°) i dzielą się dokładnie na połowy. Oznaczmy punkt przecięcia przekątnych jako $E$.

Krok 3. Liczymy połowę przekątnej $AC$. Przekątna $AC$ ma 24 cm, więc jej połowa to $24:2=12$ cm — to jest odcinek $AE$ (i taki sam $EC$).

Krok 4. Wykorzystujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie $ABE$. Trójkąt $ABE$ ma kąt prosty przy wierzchołku $E$, bo przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym. Jego przeciwprostokątną jest bok rombu $AB=13$ cm, a jedną z przyprostokątnych jest $AE=12$ cm. Szukamy drugiej przyprostokątnej $BE$ (czyli połowy przekątnej $BD$): $|BE{|}^2+|AE{|}^2=|AB{|}^2$, więc $|BE{|}^2=13^2-12^2=169-144=25$, stąd $|BE|=\sqrt{25}=5$ cm.

Krok 5. Liczymy całą przekątną $BD$. $BE$ to połowa przekątnej $BD$, więc cała przekątna to $|BD|=2\times 5=10$ cm.

Odpowiedź: Przekątna $BD$ rombu $ABCD$ ma długość 10 cm.

Krok 1. Liczymy długość krawędzi podstawy. Z rysunku wiemy, że trzy krawędzie podstawy ułożone razem w rzędzie mają długość 48 cm, czyli $3a=48$, gdzie $a$ to długość jednej krawędzi kwadratowej podstawy. Stąd $a=48:3=16$ cm.

Krok 2. Liczymy wysokość graniastosłupa. Wiemy, że $a+H=41$ cm (bok podstawy plus wysokość graniastosłupa razem dają 41 cm), gdzie $H$ to szukana wysokość. Podstawiamy $a=16$: $H=41-16=25$ cm.

Krok 3. Przypominamy wzór na objętość graniastosłupa. Objętość to pole podstawy razy wysokość. Podstawą jest kwadrat o boku $a$, więc jego pole to $a^2$. Wzór: $V=a^2\times H$.

Krok 4. Podstawiamy liczby. $V=16^2\times 25=256\times 25$. Liczymy: $256\times 25=256\times 100:4=25600:4=6400$.

Odpowiedź: Objętość tego graniastosłupa jest równa $6400{\text{ cm}}^3$.